Habe ich diese Aufgaben zu bedingter Wahrscheinlichkeit richtig bearbeitet?

1. Aufgabe: Wahrscheinlichkeitsmodelle und Bayessche Statistik (20 Punkte)

In einem Experiment gibt es zwei Typen von Maschinen, die Produkte herstellen:

Maschine 1 produziert 60% der Gesamtmenge an Produkten und hat eine Defektquote von 5%.

Maschine 2 produziert 40% der Gesamtmenge an Produkten und hat eine Defektquote von 10%.

Wenn ein Produkt als defekt getestet wird, berechne die Wahrscheinlichkeit, dass es von Maschine 1 stammt.

2. Aufgabe: Fortgeschrittene Anwendungen des Satzes von Bayes (30 Punkte)

Eine Stadt hat zwei Arten von Wohnungen:

70% der Wohnungen sind neu renoviert und 30% sind alt.

80% der renovierten Wohnungen haben eine Klimaanlage, während 20% der alten Wohnungen eine Klimaanlage haben.

Wenn eine Wohnung zufällig ausgewählt wird und es bekannt ist, dass sie eine Klimaanlage hat, berechne die Wahrscheinlichkeit, dass die Wohnung neu renoviert ist.

3. Aufgabe: Kombinierte bedingte Wahrscheinlichkeiten (30 Punkte)

Ein Medikament wird auf zwei Patientengruppen getestet:

Gruppe A besteht aus 100 Patienten, von denen 30 an einer Krankheit leiden. Die Wahrscheinlichkeit, dass das Medikament bei einem kranken Patienten wirkt, beträgt 90%, während die Wahrscheinlichkeit, dass es bei einem gesunden Patienten wirkt, 10% beträgt.

Gruppe B besteht aus 150 Patienten, von denen 50 an der Krankheit leiden. Die Wahrscheinlichkeit, dass das Medikament bei einem kranken Patienten wirkt, beträgt 80%, während die Wahrscheinlichkeit, dass es bei einem gesunden Patienten wirkt, 20% beträgt.

Wenn ein zufällig ausgewählter Patient aus Gruppe A oder B an der Krankheit leidet und das Medikament wirkt, berechne die Wahrscheinlichkeit, dass dieser Patient aus Gruppe B stammt.

4. Aufgabe: Verborgene Zustände und bedingte Wahrscheinlichkeiten (20 Punkte)

In einem Casino gibt es zwei Spielautomaten:

Automat 1 gibt bei 20% der Spiele einen Gewinn aus.

Automat 2 gibt bei 10% der Spiele einen Gewinn aus.

Der Casino-Besucher spielt ein Spiel und gewinnt. Die Wahrscheinlichkeit, dass er Automat 1 benutzt hat, beträgt 70%. Bestimme die Wahrscheinlichkeit, dass der Spieler Automat 2 benutzt hat, wenn er gewonnen hat.

5. Aufgabe: Zeitabhängige Wahrscheinlichkeiten und bedingte Wahrscheinlichkeiten (20 Punkte)

Ein Unternehmen hat zwei Produktionslinien:

Produktionslinie 1 produziert 40% der Gesamtmenge und hat eine Fehlerrate von 2% für ein bestimmtes Produkt.

Produktionslinie 2 produziert 60% der Gesamtmenge und hat eine Fehlerrate von 5% für dasselbe Produkt.

Wenn ein Produkt aus der gesamten Produktion zufällig ausgewählt wird und einen Fehler aufweist, berechne die Wahrscheinlichkeit, dass es von Produktionslinie 1 stammt.

Sind meine Ergebnisse so alle richtig?

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Stochastik, Wahrscheinlichkeit, Wahrscheinlichkeitstheorie, Baumdiagramm
Stochastik- Video-Streamingdienst?

Aufgabe 4: Video-Streamingdienst

Ein bekannter Video-Streamingdienst bietet einen kostenpflichtigen Zugang zu Spielfilmen und Serien an. Personen, die davon gegen Zahlung einer monatlichen Gebühr Gebrauch machen, werden im Folgenden als Abonnenten bezeichnet. Sie haben sich entweder für das Spielfilmpaket oder für das Komplettpaket entschieden. das neben den Spielfilmen auch noch Serien enthält.

1 Unter den Abonnenten sind 70% höchstens 40 Jahre alt. Von diesen haben 80% das Komplettpaket gewählt. Bei den über 40-jährigen Abonnenten haben sich 50% für das Komplettpaket entschieden.

a Stellen Sie den Sachverhalt in einem beschrifteten Baumdiagramm dar.

b Eine unter allen Abonnenten zufällig ausgewählte Person hat sich für das Komplettpaket entschieden. Bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeit dafür, dass sie höchstens 40 Jahre alt ist.

c Bestimmen Sie die Anzahl der Abonnenten, die man mindestens zufällig auswählen müsste, damit unter ihnen mit einer Wahrscheinlichkeit von mindestens 99% mehr als fünf Personen älter als 40 Jahre sind.

2 Der Anteil der zufriedenen Abonnenten von derzeit 60% soll gesteigert werden.

Dazu wird ein Algorithmus entwickelt, der jedem Abonnenten täglich individuell einen Spielfilm vorschlägt. Als Basis für die Entscheidung über den dauerhaften Einsatz des Algorithmus plant das Management einen Probebetrieb. Im Anschluss soll die Nullhypothese Der Anteil der zufriedenen Abonnenten beträgt höchstens 60%." mithilfe einer Stichprobe von 200 zufällig ausgewählten Abonnenten auf einem Signifikanzniveau von 5% getestet werden.

a Geben Sie an, welche Überlegung des Managements zur Wahl dieser Nullhypothese geführt haben könnte.

Für den beschriebenen Test ergibt sich (132,133;...;200) als der Ablehnungsbereich der Nullhypothese.

b Zur Bestimmung der unteren Grenze dieses Ablehnungsbereichs wurden zunächst folgende Lösungsschritte ausgeführt:

• Y: Anzahl der zufriedenen Abonnenten in der Stichprobe

P200/0,6 (Y≥132)=0,047

Begründen Sie, dass die beiden Lösungsschritte zur Bestimmung der unteren Grenze nicht ausreichend sind, und ergänzen Sie diese geeignet.

c Weisen Sie nach, dass die Wahrscheinlichkeit für einen Fehler zweiter Art bei diesem Ablehnungsbereich der Nullhypothese mehr als 90% betragen könnte.

3 Zur Anmeldung auf der Webseite des Streamingdiensts ist ein persönliches Kennwort erforderlich. Für das Kennwort können 80 verschiedene Zeichen verwendet werden: je 26 Groß- und Kleinbuchstaben, 10 Ziffem sowie 18 Sonderzeichen

a Einige Abonnenten verwenden ein Kennwort, das genau acht Zeichen lang ist und nur aus Kleinbuchstaben besteht. Dabei können Zeichen mehrfach vorkommen. Zeigen Sie, dass für diese Abonnenten weniger als ein Tausendstel aller möglichen Kennwörter infrage kommen, die aus genau acht Zeichen bestehen.

b Niclas beschließt ein Kennwort zu wählen, das die beiden folgenden Bedingungen erfüllt:

• Es besteht aus genau acht Zeichen, die untereinander verschieden sind.

• Die Buchstaben seines Namens sind in der korrekten Reihenfolge und unter Berücksichtigung der Groß- und Kleinschreibung enthalten.

Damit sind beispielsweise Nic4+las oder nNiclas mögliche Kennwörter. Bestimmen Sie die Anzahl aller derartigen Kennwörter.

Ich brauche unbedingt Hilfe bei Aufgabe 1c, 2a,2b,2c,3b.

Vielen Dank im voraus

Statistik, Stochastik, Wahrscheinlichkeit, Baumdiagramm, Bernoulli, Binomialverteilung, Rechenweg
Weg zum KI-Ingenieur?

Hallo liebe Comunity,

ich gehe im Moment noch in die Schule, könnte mir aber vorstellen zukünftig etwas im Bereich des maschinellen Lernens zu machen. Deswegen würde ich gerne jetzt schon einen Grundstein dafür legen. Ich habe mich aber gefragt, wie man da am besten einsteigen könnte. Mein Plan war es jetzt, erst mal meine mathematischen Kentnisse aufzufrischen und den Schulstoff der letzen Jahre Mathe zu wiederholen. Darauf aufbauend wollte ich dann in die höhere Mathematik einsteigen und mich mit linearer Algebra, Stochastik & Statistik befassen.

Danach würde ich dann beginnen mir das Programmieren beizubringen. In Python kenne ich mich schon ein bisschen aus, aber ich würde mein Können als definitiv ausbaufähig beschreiben.

Als letzen Schritt würde ich mich dann mit KI-spezifischen Themen auseinandersetzen. Da hab ich mir jedoch noch nichts genaueres überlegt. Wahrscheinlich beständer der Teil dann darin, die Struktur von neuronalen Netzen tiefer zu durchblicken, mit KI-Frameworks zu experimentieren und verschiedene Trainingsmethoden auszuprobieren (Supervised learning, Reinforcment learning, etc.)

Aber ich bin halt echt alles andere als Experte in diesem Bereich (das will ich ja erst noch werden in Zukunft). Deswegen bitte ich darum, mögliche Fehler in meiner Nachricht zu entschuldigen.

Jetzt zu meiner Frage an alle, die sich mit KI auskennen, selber in diesem Bereich tätig sind oder sich auf dem Weg dahin befinden.

Was haltet ihr von meinem Plan. Würdet ihr anders vorgehen? habe ich irgendetwas wichtiges vergessen? Würdet ihr das Erlernen dieser Fähigkeiten anders strukturieren?

Über eine simple Bewertung und ein paar Ratschläge würde ich mich sehr freuen.

Viele Grüße und noch einen schönen Sonntag :)

Mathematik, Framework, Informatik, künstliche Intelligenz, lineare Algebra, Statistik, Stochastik, Machine Learning, Data Science
Mathe Abi Bayern 2024 -Lösungen?

Ein bekannter Video-Streamingdienst bietet einen kostenpflichtigen Zugang zu Spielfilmen und Serien an. Personen, die davon gegen Zahlung einer monatlichen Gebühr Gebrauch machen, werden im Folgenden als Abonnenten bezeichnet. Sie haben sich entweder für das Spielfilmpaket oder für das Komplettpaket entschieden. das neben den Spielfilmen auch noch Serien enthält.

1 Unter den Abonnenten sind 70% höchstens 40 Jahre alt. Von diesen haben 80% das Komplettpaket gewählt. Bei den über 40-jährigen Abonnenten haben sich 50% für das Komplettpaket entschieden.

a Stellen Sie den Sachverhalt in einem beschrifteten Baumdiagramm dar.

b Eine unter allen Abonnenten zufällig ausgewählte Person hat sich für das Komplettpaket entschieden. Bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeit dafür, dass sie höchstens 40 Jahre alt ist.

c Bestimmen Sie die Anzahl der Abonnenten, die man mindestens zufällig auswählen müsste, damit unter ihnen mit einer Wahrscheinlichkeit von mindestens 99% mehr als fünf Personen älter als 40 Jahre sind.

2 Der Anteil der zufriedenen Abonnenten von derzeit 60% soll gesteigert werden.

Dazu wird ein Algorithmus entwickelt, der jedem Abonnenten täglich individuell einen Spielfilm vorschlägt. Als Basis für die Entscheidung über den dauerhaften Einsatz des Algorithmus plant das Management einen Probebetrieb. Im Anschluss soll die Nullhypothese Der Anteil der zufriedenen Abonnenten beträgt höchstens 60%." mithilfe einer Stichprobe von 200 zufällig ausgewählten Abonnenten auf einem Signifikanzniveau von 5% getestet werden.

a Geben Sie an, welche Überlegung des Managements zur Wahl dieser Nullhypothese geführt haben könnte.

Für den beschriebenen Test ergibt sich (132,133;...;200) als der Ablehnungsbereich der Nullhypothese.

b Zur Bestimmung der unteren Grenze dieses Ablehnungsbereichs wurden

zunächst folgende Lösungsschritte ausgeführt:

• Y: Anzahl der zufriedenen Abonnenten in der Stichprobe

P200 (Y≥132)=0,047

Begründen Sie, dass die beiden Lösungsschritte zur Bestimmung der unteren Grenze nicht ausreichend sind, und ergänzen Sie diese geeignet.

c Weisen Sie nach, dass die Wahrscheinlichkeit für einen Fehler zweiter Art bei diesem Ablehnungsbereich der Nullhypothese mehr als 90% betragen könnte.

3 Zur Anmeldung auf der Webseite des Streamingdiensts ist ein persönliches Kennwort erforderlich. Für das Kennwort können 80 verschiedene Zeichen verwendet werden: je 26 Groß- und Kleinbuchstaben, 10 Ziffem sowie 18 Sonderzeichen

a Einige Abonnenten verwenden ein Kennwort, das genau acht Zeichen lang ist und nur aus Kleinbuchstaben besteht. Dabei können Zeichen mehrfach vorkommen. Zeigen Sie, dass für diese Abonnenten weniger als ein Tausendstel aller möglichen Kennwörter infrage kommen, die aus genau acht Zeichen bestehen.

b Niclas beschließt ein Kennwort zu wählen, das die beiden folgenden Bedingungen erfüllt:

• Es besteht aus genau acht Zeichen, die untereinander verschieden sind.

• Die Buchstaben seines Namens sind in der korrekten Reihenfolge und unter Berücksichtigung der Groß- und Kleinschreibung enthalten.

Damit sind beispielsweise Nic4+las oder nNiclas mögliche Kennwörter. Bestimmen Sie die Anzahl aller derartigen Kennwörter.

Ich brauche unbedingt Hilfe bei Aufgabe 1c,2a, 2b und 2c.

Statistik, Stochastik, Wahrscheinlichkeit, Textaufgabe, Wahrscheinlichkeitsrechnug, wahrscheinlichkeiten rechnen
Vorbereitung für das Studium?

heyy,

ich werde im Oktober mein erstes Semester haben.
Ich studiere dann Mathematik auf Lehramt (L2).

Habt ihr Tipps, Vorschläge, Ratschläge, um mich perfekt auf das Studium vorbereiten zu können?
wenn ich mir die Themen im Modul angucke, weiß ich nämlich gar nicht, wo ich anfangen soll oder woher ich die Information überhaupt beschaffen soll..

habe nämlich gehört, dass man in diesem Studium sehr hinterher hängen soll mit dem Verständnis. deswegen wollte ich mir den Start ein wenig erleichtern 👍

(Die Studierenden • erhalten grundlegende fachmathematische Kenntnisse zu den Inhalten der Elementare Zahlentheorie und Algebra sowie der Zahlbereichserweiterung. • lernen unterschiedliche Beweisverfahren in der Mathematik kennen und können diese anwenden. • lernen und vertiefen die verbale und schriftliche mathematische Fachsprache. • erlangen didaktische Kompetenzen im Hinblick auf Bezüge zwischen Elementarmathematik und Schulmathematik. • Erfahren Mathematik als Erkenntnisvorgang, der von Quellen und Anstößen über die Theorie zu Ergebnissen, Anwendungen und weitergehenden Vertiefungen führt. Elementare Zahlentheorie und Algebra; Zahlbereichserweiterung mit folgenden Inhalten: Grundlegendes: Axiome, Definitionen; Quantoren/Logik; Mengen; Peano Axiome und Vollständige Induktion; Teilbarkeit und Teiler von Zahlen; Primzahlen; Hauptsatz der elementaren Zahlentheorie; Satz von Euklid; ggT. und kgV; Satz von der Division mit Rest; Euklidischer Algorithmus; Lineare Diophantische Gleichungen; Kongruenzkalkül; Darstellung von Zahlen und Teilbarkeitsregeln; Darstellungen von Brüchen und Dezimalzahlen; Relationen und Zahlbereichserweiterungen. Einblick und Überblick in grundlegende theoretische und empirische Erkenntnisse und Grundfragen zum Lehren und Lernen von Mathematik in den Sekundarstufen, u.a. über Konzepte und Kriterien der Gestaltung und Analyse von Mathematikunterricht. Grundfragen der Mathematikdidaktik; Mathematikunterricht damals und heute; Bildungsstandards Mathematik & Roatasberge und maihnachel Modelleren un Unierich: Mathematische Denkstile; Problemlösen im Mathematikunterricht; Argumentieren, Begründen und Beweisen im Mathematikunterricht; Zur Psychologie des Mathematiklernens; Digitalisierung im Mathematik Brikalkulie/Rechenschwäche. Das steht alles im Modulhandbuch für das erstes Semester)

Studium, Mathematik, Prozessor, rechnen, Vorbereitung, Algebra, Lehrer, Lehrerin, lineare Algebra, Logik, Mathematiker, Mathematikstudium, Professor, Realschule, Stochastik, Student, studieren, Universität, Beweis, Mathelehrer, Analysis
Kann mir jemand bei den 2 Aufgaben helfen?

Moinsen ihr Lieben,

Unzwar hänge ich leider seit fast 2 Stunden an diesen beiden Aufgaben und weiß einfach nicht weiter. Könnte mir jemand die Aufgaben erklären und mich in den Rechenweg einleiten?

Wäre sehr nett von euch. 

Mit freundlichen Grüßen

Mario

Aufgabe 1: Stochastik

Bei einem Glückspiel wird ein normaler Würfel eingesetzt. Ein Spiel kostet einen Einsatz von 1 Euro. Wenn eine 6 gewürfelt wird erhält man 3 Euro. Wenn eine 2 oder eine 4 gewürfelt wird gibt es immerhin noch 1,50 Euro.

a) Begründen Sie, ob es sich um ein faires Spiel handelt.

b) Wie müsste der Einsatz verändert werden, damit der Spieler statistisch ge- sehen bei 10-maligem Spielen einen Gewinn von 8 Euro macht?

Ein normaler 6-seitiger Würfel, der fair und nicht gezinkt

ist weist für das Würfeln einer 6 eine Wahrscheinlichkeitsverteilung auf.

c) Stellen Sie die Verteilung mit einem Histogramm für 50 Würfe graphisch dar und berechnen Sie die folgenden Aufgaben:

• Mit welcher Wahrscheinlichkeit wirft man genau 6 Mal eine 6?

• Mit welcher Wahrscheinlichkeit wirft man mindestens

4 und höchstens 12 Mal eine 6?

• Mit welcher Wahrscheinlichkeit wirft man weniger als 8 Mal keine 6?

Dei Binomialverteilung wird häufig durch die Normalverteilung approximiert.

d) Erläutern Sie, was mi Gegensatz zur Binomialverteilung unter einer Nor- malverteilung verstanden wird und machen Sie die Unterschiede deutlich.

e) Ist die Normalverteilung als Approximation ni der oben genannten Situa- tion anwendbar? Begründen Sie rechnerisch und graphisch.

Aufgabe 2: Analysis

Bei der Normalverteilung spielt die sogenannte Gauß'sche p-Funktion

(Xー1)3

4u,о (x) =

e

202 eine zentrale Rolle.

0 • V 2 7t

Es wird 100 Mal gewürfelt. Als Treffer gilt nach wie vor die 6.

a) Bestimmen Sie Quo für genau 15 Trefer und vergleichen Sie diesen Wert mit P(X=15) im Rahmen der Binomialverteilung.

b) Lösen Sie die Gleichung Quo (x) = 0,02 und interpretieren Sie das Ergebnis.

c) Berechnen Sie

die Wendestellen dieser Funktion.

d) Welche besondere Bedeutung haben die Wendestellen für die Berechnung

von Intervallwahrscheinlichkeiten? Interpretieren Sie ihre Ergebnisse auch im Sachkontext der Aufgabe.

Mathematik, Stochastik, Analysis

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