Funktion – die neusten Beiträge

Stimmt mein Beweis? Wenn ja, wie verbessern/erleichtern, wenn nein bitte Erklärung?

Guten Morgen!

Ich muss folgende Aufgabe lösen:

Eigentlich sehe ich auf den ersten Blick, dass dad wahr ist. Spätestens bei der Zeichnung weiß man es doch. Ist es wirklich immer notwendig, sowas "triviales" so zu beantworten?

Wie sieht meine Lösung aus?

I.) Nullstellen

f(x)=0=1/x|:x 0=1

-> f keine Nullstellen, da die Gleichumg nicht lösbar ist. Das heißt, sie befindet sich in unserem Intervall entweder im oberen ODER unteren Quadranten.

II.) Quadranten und Werte- & Definitionsbereich

Damit f im oberen rechten Quadranten verläuft, dürfen x & y nur positive Werte annehmen. X ist bereits positiv definiert. Damit y einen negativen Wert annehmen kann, müsste eine positive durch eine negative oder viceversa getauscht werden. f lässt sich in g & h aufteilen. f(x)=g(x)/h(x); mit g(x)=1 & h(x)=x. Da es sich bei 1 um eine positive Zahl handelt und x perse nur positive Werte annehmen kann, gilt: f(x)>0.

Da die x & y Werte in f stets positiv sind, verläuft die Funktion im oberen rechten Quadranten.

II.) Falls die Funktion keine Extrema zwischen [0;Inf] hat, wechselt sie ihr Vorzeichen in der Steigung nicht.

f(x)=(1/x)=x-¹ => f'(x)=(1/x²)=-x-² => f''(x)= -(2/x³) =-2x-³

f'(x)=0=-x‐²=(-1/x² )=> x≠0, da sonst Division durch 0.

Um x² aus dem Nenner zu holen, wäre die Operation -¹ erforderlich.

f(x) =0-¹=x² => Wieder die nicht definierte Division durch Null.

=> Keine Lösungen, keine Extrema

III). Monotonieverhalten betrachten

Damit lässt sich der Verlauf der Funktion bestimmen.

=> ist f im Wertebereich [0;Inf] streng monton fallend, sinkt der y-Wert mit steigendem x-Wert immer Weiter. Dafür muss gelten:

f'(x) im Intervall [0;Inf] < 0

f'(x)=-x-² =(-1)*x-² < 0

-1/(x²) für alle x€|R, [0->Inf] x-²=(-1/x²)<0

Aufgeteilt hat man im Zähler -1 und im Nenner x². f(x)=g(x)/h(x); g(x)=-1 & h(x)=x²

Für jedes x im Definitionsbereich muss also gelten, dass das Ergebnis von h(x)=x² positiv ist.

Also muss gelten: x²>0 -> x*x>0

0 & negative Zahlen für x sind hier nicht definiert.

1. Mit sich selbst multipliziert ergibt jede Zahl stets eine positives Ergebnis.

2. -1 geteilt durch jede positive Zahl ergibt eine negative Zahl. Es folgt:

=> f'(x)=-x-²<0

=> f(x) ist streng monton fallend

IV).Wenn ich damit argumentiere, dass x ab fortlaufend größeren Werten immer kleinere Werte für y annimmt:

f(1)=1/1=1

f(2)=1/2=0,5

f(10)=1/10=0,1

f(100)=1/100=0,01

f(10.000)=1/10.000=0,0001 usw.

...

[V.) Betrachtung der Zeichnung

Eigentlich offensichtlich]

Zusammenfassend, Wie gezeigt:

I. Keine Nullstelle, somit bleibt f im oberen rechten Quadranten, da jedem x Wert nur ein y Wert zugestimmt werden kann, und hier sowieso |R- nicht berücksichtigt wird.

II. Da f keine Extrema hat, das heißt das Vorzeichen der Steigung wechselt nicht.

=> f wird nimmt entweder fortlaufend immer größere oder kleinere Werte an.

III. Sind die Werte f's d im Defintiomsbereich streng monoton fallend. Das heißt, sie werden kleiner und kleiner.

IV. Sinken die Werte für f fortlaufend, aber niemals unter 0.

Zusammengesetzt: f befindet sich im ersten, oberen rechten Quadranten.

Damit gilt, wie gezeigt:

Lim x->0 [f(x)=1/x]- =f(Inf)= 1/Inf -> +Inf

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Funktion, Gleichungen, höhere Mathematik, Mathematiker, Beweis

Sachaufgabe zur e Funktion?

Hallo, ich bearbeite gerade folgende Sachaufgabe: Ein Medikament, das in Tablettenform verabreicht wird, wird in unterschiedlichen Wirkstoffdosierungen produziert. In den ersten 24 Stunden nach Einnahme einer Tablette kann die Wirkstoffkonzentration des Medikaments im Blut eines Patienten näherungsweise durch die Funktion f(t)= 2,5*t*e^-0,2t beschrieben werden. Dabei gibt t die Zeit seit der Einnahme in Stunden und f(t) die Wirkstoffkonzentration im Blut in Milligramm pro Liter an. 

a) Berechnen Sie die Wirkstoffkonzentration im Blut des Patienten nach 3 Stunden. 

b) Bestimmen Sie die maximale Wirkstoffkonzentration im Blut des Patienten.

c) Das Medikament ist nur wirksam, wenn die Konzentration im Blut mindestens 1,5 mg pro Liter beträgt. Bestimmen Sie den Zeitpunkt, zu dem spätestens eine erneute Verabreichung erfolgen muss, damit eine durchgehende Wirksamkeit gesichert ist.

e) Zeigen Sie, dass f(t)= -12,5*t*e^-0,2t -62,5*e^-0,2t eine Stammfunktion von f ist. 

f) Berechnen Sie die mittlere Wirkstoffkonzentration im Blut des Patienten innerhalb der ersten 24 Stunden nach der Einnahme des Medikaments. 

Ich habe jede Aufgabe richtig, außer c und f. Ich habe c einfach nicht verstanden ich glaube ich habe den Ansatz verstanden, also f(t) = 1,5 setzen und nach t auflösen, jedoch weiß ich nicht wie, weil t als Faktor dasteht und sowohl auch im Exponenten. Und bei Aufgabe f ) hab ich 1/24 • [ (-12,5 • 24 • e^-0,2•24 -62,5 • e ^-0,2t) - ( F(0) berechnet, bin aber irgendwie nicht auf das richtige Ergebnis gekommen. Mein Lehrer hat 2,917 mg/l raus. Kann mir jemand eventuell helfen?

rechnen, Funktion, Ableitung, Exponentialfunktion, Gleichungen, Integralrechnung, Funktionsgleichung, Analysis

Statik aufgabe hilfe?

Kann mir jemand bei der aufgabe helfen bitte

danke im voraus

Gegeben:

σₐ = 20,0 N/mm²

σ꜀ = 50,0 N/mm²

τᴮ = 80,0 N/mm²

Aus dem Dreieck (Grafik):

a = 4 Kästchen (x-Richtung)

b = 3 Kästchen (y-Richtung)

l = √(a² + b²) = √(4² + 3²) = √(16 + 9) = √25 = 5

a) Gesuchte Größen: τₐ, τ꜀, σᴮ

1. τₐ:

τₐ = (a · τᴮ + b · σᴮ) / l

τₐ = (4·80 + 3·80) / 5 = (320 + 240) / 5 = 560 / 5 = 112,00 N/mm²

2. τ꜀:

τ꜀ = (a · σₐ + b · τₐ) / l

τ꜀ = (4·20 + 3·112) / 5 = (80 + 336) / 5 = 416 / 5 = 83,20 N/mm²

3. σᴮ:

σᴮ = (−b · σₐ + a · τₐ) / l

σᴮ = (−3·20 + 4·112) / 5 = (−60 + 448) / 5 = 388 / 5 = 77,60 N/mm²

b) Hauptschubspannung τₘₐₓ und zugehörige Normalspannung σᴹ

1. τₘₐₓ:

τₘₐₓ = ½ · √[(σ꜀ − σₐ)² + 4 · τ꜀²]

τₘₐₓ = ½ · √[(50 − 20)² + 4·(83,2)²]

= ½ · √[900 + 4·6928,64]

= ½ · √[900 + 27714,56]

= ½ · √28614,56

= ½ · 169,06

= 84,53 N/mm²

2. σᴹ:

σᴹ = (σₐ + σ꜀) / 2 = (20 + 50) / 2 = 35,00 N/mm²

Ergebnisse:

Teil a)

τₐ = 112,00 N/mm²

τ꜀ = 83,20 N/mm²

σᴮ = 77,60 N/mm²

Teil b)

τₘₐₓ = 84,53 N/mm²

σᴹ = 35,00 N/mm²

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