Wieso gibt etwas geteilt durch 0 immer 0?
Hallo Community,
Ich habe zwar Abitur aber durch ein zufälliges Reel bin ich auf die Fragestellung gekommen ob 1 geteilt durch 0 dann 1 oder 0 ist.
In der Schule wird uns beigebracht, dass alles, was durch Null geteilt wird dann auch Null ergibt. Das kommt vom schriftlichen geteilt rechnen wo man sich immer fragt wie oft die 0 dann in etwas hinein passt. Da 0 aber, egal wie viel vervielfacht immer 0 bleibt und nicht mehr wird bleibt das Ergebnis doch 0 oder?
Anders gesagt: Wenn man 1 durch 0 teilt, sucht man nach einer Zahl, die mit 0 multipliziert 1 ergibt. Da jede Zahl, die mit 0 multipliziert wird, immer 0 ergibt, gibt es keine solche Zahl, die das Ergebnis der Division von 1 durch 0 sein könnte.
Wenn ich aber jetzt in die Grundschule zurück gehe und sage ich habe einen Apfel und muss ihn mit niemanden teilen dann habe ich immernoch einen Apfel.
Also was jetzt? Mich verwirrt das gerade so sehr, es ist eigentlich eine simple Rechnung aber das eine ist mathematisch richtig und das andere ist realistisch richtig. Liegt das an den Reelen Zahlen oder was ist nun das stummende Ergebnis?
Ich hoffe mir kann jemand helfen! Vielen Dank für Antworten!
14 Antworten
Du hast ja schon etliche Antworten bekommen, aber keine davon geht auf den Aspekt ein, der möglicherweise bei dir für Verwirrung sorgt.
Deine Idee, zu dem simplen Divisionskonzept aus der Grundschule zu gehen, ist gar nicht mal so schlecht.
Das Problem dabei ist aber folgendes:
Bei deinem Apfel-Verteil-Beispiel teilt man doch immer durch natürliche Zahlen, also 2, 3, 4, 5, etc: Wenn ich meine Äpfel mit einer anderen Person teile, dann teile ich sie auf insgesamt zwei Personen auf, führe also eine Division mit 2 durch.
Teile ich die Äpfel mit fünf anderen, dann verteile ich sie auf insgesamt sechs Personen, mich selbst und den fünfen. Ich dividiere somit durch 6.
Teile ich meine Äpfel mit niemandem, dann bleiben alle Äpfel bei einer Person, mir selbst. Das entspricht einer Division mit 1 (dem sog. neutralen Element der Division, weil das Teilen mit 1 keine Veränderung bewirkt).
Diese Überlegung Äpfel auf Personen zu verteilen, stößt aber an ihre Grenzen, wenn man durch Zahlen teilt, die keine natürlichen Zahlen sind: Kommazahlen, Brüche, oder auch negative Zahlen. Und natürlich auch die Null.
Es wäre vielleicht besser, mit einem andern Beispiel zu arbeiten, das aber immer noch sehr konkret ist.
Stell dir ein großes Weinfass vor. Es muss nicht so groß sein, wie das Dürkheimer Riesenfass, in das 1,7 Millionen Liter passen; sagen wir, da passen 600 Liter rein.
Wenn man sich jetzt überlegt, wieviele Weinkrüge, die 3 Liter fassen, aus einem vollen Fass befüllt werden können, dann führen wir die gewohnte Division mit natürlich Zahlen durch.
In diesem Fall wäre das 600 : 3 = 200. D.h. aus einem vollen Fass können 200 3-L-Weinkrüge zur Gänze gefüllt werden.
Vielleicht siehst du, wo ich mit diesem Beispiel hin will.
Es ist ja, anders als bei dem Verteilen von Äpfeln auf Personen, nicht zwingend, dass der Inhalt der Gefäße, die man aus dem Weinfass befüllt, ganzzahlige Litervolumina haben müssen.
Wenn man Weinkrüge befüllt, die nur halb so groß sind, kann man logischerweise die doppelte Menge befüllen.
Das entspricht der Division 600 : 1,5 = 400.
Und genauso einfach, wie wir so eine Division mit Kommazahlen größer als 1 realistisch deuten können, können wir das auch mit Kommazahlen (oder Brüchen) kleiner als 1.
Wenn man den Wein aus dem Weinfass z.B. direkt in Römer mit 0,2 l Fassungsvermögen abfüllt, dann können wir damit 3.000 Gläser befüllen.
Das entspricht der Division 600 : 0,2 = 3000.
Man brauch kein Mathematiker zu sein, um sich vorzustellen, was passiert, wenn wir das Fassungsvermögen der Gefäße immer kleiner machen: Je kleiner der Behälter ist, um so mehr von ihnen kann man mit dem Weinfass befüllen.
Wenn man Schnapsgläser mit 2 cl mit dem Wein befüllt, könnte man mit dem Weinfass 30.000 Schnapsgläser voll machen. Wenn man, wieso auch immer, den Wein auf Fingerhüte verteilen würde, könnte noch mehr befüllt werden.
Und so geht das theoretisch immer weiter: Wenn die Gefäße beliebig klein gemacht werden, wird die Anzahl derselben, auf die man das Weinfass verteilen kann, beliebig groß.
In der Praxis gibt es natürlich eine natürliche Grenze, bei man dann nur noch einzelne Moleküle verteilt, aber wenn man sich vorstellt, dass man das Fassungsvermögen der Gefäße beliebig nah an die Null heranbringen kann, dann wir die Anzahl der Gefäße wie gesagt beliebig groß.
Und was passiert nun, wenn das Fassungsvermögen Null wird?
In dieser praktischen Anwendung der Division, würde eine Division durch Null der Frage gleichkommen, wie viele Gefäße mit Fassungsvermögen 0 Liter man mit dem Weinfass befüllen kann.
Und die Antwort ist: unendlich viele.
Wie man mit der Überlegung von immer kleineren Gefäßen (die ja die Zahl im Nenner darstellen) gesehen hat, wird die Anzahl, also das Ergebnis der Division, immer größer.
Sie bewegt sich gegen Unendlich.
Wir könnten also (etwas schlampig) schreiben: 200 : 0 = ∞
Mathematisch gesehen ist das aber nicht die ganze Wahrheit, denn zum einen ist Unendlich (∞) keine Zahl, zum anderen kann man eine analog Überlegung auch für negative Nenner machen:
600 : -4 = -150
600 : -2 = -300
600 : -1 = -600
600 : -0,2 = -3.000
600 : -0,001 = -600.000
600 : -0,000000001 = -600.000.000.000
u.s.w.
Wenn wir also mit negativen Nennern starten und diese immer weiter an die Null annähern, dann geht das Ergebnis der Division gegen minus Unendlich!
Das Ergebnis von 200 : 0 wäre also gleichzeitig +∞ und -∞, zwei Ergebnisse, die unterschiedlicher nicht sein könnten!
(Das wird übrigens sehr gut in dem Graphen der Funktion 1/x deutlich, der bei x=0 eine Polstelle hat.)
Das ist der Hauptgrund, wieso die Division durch Null nicht definiert ist.
Ein Spezialfall wäre der Quotient 0/0, was ein sog. unbestimmter Ausdruck ist.
Wenn so etwas als Grenzfall (!) in einer Rechnung auftaucht, kann diesem Quotienten oft ein sinnvoller Wert zugeordnet werden, z.B. beim Grenzübergang von Steigungsdreiecken zum Berührpunkt bei der Ermittlung der Steigung von Tangenten an Graphen.
Aber das ist ein anderes Thema.
In der Praxis (und der sog. "praktischen" Mathematik) gibt es aber die Möglichkeit des "Grenzübergangs". Dabei kann man berechnen, gegen welchen Wert die Division durch Null strebt. Das kann dann Null oder eine unendlich große Zahl sein, aber auch ein endlicher Wert.
So kann z.B. der Quotient einer Zahl, bei der sowohl Zähler als auch Nenner gegen Null streben, durchaus einen endlichen Wert ergeben.
Beispiel:
y=(x²-9)/(x-3)
Wie groß ist y für x=3? Eingesetzt gibt das 0/0.
Aber der "Grenzübergang" zeigt, dass y auf einen endlichen Wert "zuläuft" - in diesem Fall auf y=6. Du kannst zur Probe ja mal x=2,99 einsetzen und prüfen, was dabei rauskommt.
Es gibt da die Regel von L´Hospital, die sagt, dass man bei so einem Ausdruck (wo also 0/0 entsteht) den Zähler und nenner GETRENNT (also einzeln) differenzieren muss, um das Ergebnis des Grenzübergangs zu erhalten.
Hier entsteht dabei 2x/1 was für x=3 dann zum Ergebnis y=6 führt.
Wie von dir selber gesagt ist irgendwas durch Null immer nicht definiert.
Es gibt hier nicht mathematisch richtig und realistisch richtig, da dein Beispiel hinkt. Wenn du deinen Apfel mit niemandem teilst, dann kannst du ihn auch nicht behalten, denn dann würdest du ihn mit einer Person teilen nämlich dir.
Betrachte es so, wenn du 1 ein Apfel auf 0 Personen aufteilst, wie viel Apfel müsstest du auf jede Person aufteilen so dass der Apfel weg ist. Da es keine Personen gibt (auch nicht du selber) ist das nicht möglich. Solltest du den Apfel behalten hast du 1 durch 1 gerechnet (du bist die Person) und nicht 1 / 0.
Außerdem in welcher Schule lernt man dass irgendwas durch 0 geteilt 0 ergibt, dass ist falsch und ergibt keinen Sinn.
12:4 = 3, denn 3*4 = 12
Wenn 12: 0 = x (was immer das sein mag) ist, müsste 0*x = 12 sein. Solche Zahl gibt es nicht!
Nächster Versuch
0:0 = x, dann wäre x * 0 = 0. Dann könnte x jede beliebige Zahl sein, Ergebnis ist also sinnlos.
Durch 0 teilen ist keine zulässige Operation. 1 geteilt durch eine sehr kleine positive Zahl z. B. 0,0000000001 ergibt eine sehr große Zahl. Lässt man den Nenner weiter gegen 0 laufen, wird das Ergebnis immer größer. Andererseits ergibt 1 geteilt durch eine sehr kleine negative Zahl eine Zahl weit im Negativen. Deswegen ist es nicht einmal umgangssprachlich sinnvoll, wenn man behauptet "1 geteilt durch 0 sei +∞". Man muss die Unmöglichkeit des durch-Null-Teilens konsequent berücksichtigen und darf sich nicht zu solchen Halbgarheiten hinreißen lassen, denn sonst führt das zu Blödsinn.