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linuxistbesserr
05.05.2025, 22:07
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Ist das richtig gerechnet?

Moin,

Kann bitte jemand korrigieren ob ich das richtig ausgerechnet habe?

Hier der Rechenweg:

a) Funktionsgleichung von p1p_1

Gegeben: A(2|3), B(4|-1)

Ansatz: y=ax2+bx+cy = ax^2 + bx + c

1. Gleichung mit A:

3=a⋅22+b⋅2+c=4a+2b+c3 = a \cdot 2^2 + b \cdot 2 + c = 4a + 2b + c

2. Gleichung mit B:

−1=a⋅42+b⋅4+c=16a+4b+c-1 = a \cdot 4^2 + b \cdot 4 + c = 16a + 4b + c

Jetzt subtrahieren:

(16a+4b+c)−(4a+2b+c)=−1−3(16a + 4b + c) - (4a + 2b + c) = -1 - 3

12a+2b=−412a + 2b = -4

→ durch 2: 6a + b = -2 → (I)

Setze in 1. Gleichung ein:

3=4a+2(−2−6a)+c3 = 4a + 2(-2 - 6a) + c

3=4a−4−12a+c3 = 4a - 4 - 12a + c

3=−8a−4+c3 = -8a - 4 + c

→ c = 3 + 8a + 4 = 8a + 7

Nimm z. B. a = -1

Dann: b = -2 - 6(-1) = 4*, c = 8(-1) + 7 = -1*

Lösung:

p1(x)=−x2+4x−1p_1(x) = -x^2 + 4x - 1b) Funktionsgleichung von p2p_2

Scheitelpunkt: S(3|4), nach unten geöffnet

Ansatz: y=a(x−3)2+4y = a(x - 3)^2 + 4

Nimm z. B. a = -1 (weil nach unten)

Lösung:

p2(x)=−(x−3)2+4p_2(x) = -(x - 3)^2 + 4c) Nullstellen von p3(x)=x2+2x−3p_3(x) = x^2 + 2x - 3

pq-Formel:

x2+2x−3=0x^2 + 2x - 3 = 0 → p=2p = 2, q=−3q = -3

x1,2=−22±(22)2−(−3)=−1±1+3=−1±2x_{1,2} = -\frac{2}{2} \pm \sqrt{\left(\frac{2}{2}\right)^2 - (-3)} = -1 \pm \sqrt{1 + 3} = -1 \pm 2x1=1,x2=−3x_1 = 1,\quad x_2 = -3Lösung:

N1(1∣0),N2(−3∣0)N_1(1|0),\quad N_2(-3|0)d) Schnittpunkte von p3p_3 und p4p_4

p3(x)=x2+2x−3p_3(x) = x^2 + 2x - 3

p4(x)=−x2+2x+5p_4(x) = -x^2 + 2x + 5

Gleichsetzen:

x2+2x−3=−x2+2x+5x^2 + 2x - 3 = -x^2 + 2x + 5x2+x2=8⇒2x2=8⇒x2=4⇒x=±2x^2 + x^2 = 8 \Rightarrow 2x^2 = 8 \Rightarrow x^2 = 4 \Rightarrow x = ±2Einsetzen in p3p_3:

x=2:y=4+4−3=5x = 2: y = 4 + 4 - 3 = 5

x=−2:y=4−4−3=−3x = -2: y = 4 - 4 - 3 = -3

Lösung:

Schnittpunkte:(2∣5)und(−2∣−3)Schnittpunkte: (2|5) und (-2|-3)e) Scheitelpunkt von p3p_3

y=x2+2x−3y = x^2 + 2x - 3

In Scheitelpunktform umwandeln:

y=(x+1)2−1−3=(x+1)2−4y = (x + 1)^2 - 1 - 3 = (x + 1)^2 - 4Scheitelpunkt:

S(−1∣−4)S(-1|-4)f) Zeichnung von p3p_3
  • Scheitelpunkt: S(-1|-4)
  • Nullstellen: x = 1 und x = -3
  • y-Achsenabschnitt: x = 0 → y = -3
  • Symmetrieachse: x = -1
  • Weitere Punkte:
  • x = -2 → y = -3
  • x = 2 → y = 3
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rechnen, Funktion, Formel, Gleichungen, höhere Mathematik, Mathematiker, Nullstellen, quadratische Funktion, Funktionsgleichung, Parabel, quadratische Gleichung
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Christi4nS
01.05.2025, 20:11
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Mathe - welche Variante gibt Punkt bei der Matura?

Gegeben ist folgendes Beispiel:

Der Wasserspiegel eines Sees und ein Haus liegen in einer Horizontalebene.

Von einem

h Meter über dem Boden befindlichen Fenster des Hauses erscheint das diesseitige Ufer des Sees unter dem Tiefenwinkel Alpha, das jenseitige Ufer unter dem Tiefenwinkel Beta.
Erstellen Sie mit x, a und ß eine Formel zur Berechnung der Breite b des Sees.

Der Ansatz laut Lösung:

In beiden gegebenen rechtwinkeligen Dreiecken h berechnen und anschließend gleichsetzen.

1

tan(alpha) = h/x

h = x • tan(alpha)

2

tan(beta) = h/x+b

h = (x+b) • tan(beta)

3

x • tan(alpha) = (x+b) • tan(beta)

x • tan(alpha) - x • tan(beta) = b • tan(beta)

b = x • tan(alpha) - tan(beta) / tan(beta)

Mein Ansatz wäre:

Zuerst x berechnen

tan(alpha) = h/x

x • tan(alpha) = h

x = h/tan(alpha)

x + b berechnen

tan(beta) = h/(x+b)

(x+b) • tan(beta) = h

(x+b) = h/tan(beta)

x von x+b abziehen um b zu erhalten

b = (x+b) - x

b = h/tan(beta) - h/tan(alpha)

Wenn man für alpha, beta und h Zahlen einsetzt erhält man in beiden Fällen dasselbe Ergebnis.

Da ich hier aber nur eine Formel zur Berechnung von b erstellen soll wäre meine Frage ob bei der Matura beide Varianten gleich bewertet werden oder ob nur die eine Variante aus den Lösungen als „richtig“ anerkannt wird und man nur dafür den/die Punkte erhält ?

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rechnen, Funktion, Formel, Gleichungen, höhere Mathematik, Mathematiker, Sinus, Trigonometrie, Cosinus, Tangens
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paula136
30.04.2025, 18:57
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LateX Fehlerbehebung?

Halloo,

ich versuche gerade ein Protokoll in Overleaf zu schreiben, stecke aber fest, weil immer wieder Fehler angezeigt werden. Leider kann ich mir die nicht erklären, weil ich LateX noch nicht gut kann. Könnte mir bitte jemand helfen?

Danke schonmal

Das ist mein Text:
Diese ergibt sich aus dem 2. Newtonschon Axiom, nach dem gilt $\vec{F}=m*\vec{a}$. Dabei ist $t$ die Zeit. Hier wurde also verwendet, dass $\a=\frac{d^2x}{dt^2}$.

Diese homogene Differentialgleichung zweiter Ordnung lässt sich umschreiben zu \[

  \frac{d^2x}{dt^2}+\omega_0^2x=0,

\]

indem $\omega_0^2=D/m$ eingesetzt wird.

Zum Lösen wird der Ansatz $x=c*e^{\lambda t}$ verwendet, mit $c$ als beliebiger Konstante und $\lambda$ als zu bestimmender Faktor. 

Setzt man diesen Ansatz in die Differentialgleichung ein, ergibt sich durch mehrmaliges Ableiten die Gleichung $\lambda ^2+\omega_0^2=0$. Das Lösen dieser Gleichung führt auf \[lambda_1=+i*\omega_0, \lambda_2=-i*\omega_0\] und somit auf \[x_1(t)=c_1*e^{i\omega_0t}+c_2*e^{-i\omega_0t}.\] Nun kann unsere Zielfunktion auf nicht irreller Natur sein, da sie einen realen Vorgang beschreibt. Daher muss $c_1=c$ und $c_2=c^*$ gewählt werden, das heißt $c_1=a+ib$ ist das komplex Konjugierte zu $c_2=a-ib$ mit $a,b$ als reellen Zahlen. 

Diese Gleichung soll nun anschaulicher dargestellt werden, wozu zum einen die Polardarstellung \[ c=|c|*e^{i\varphi}, c^*=|c|*e^{-i\varphi}\] und zum anderen die Eulersche Identität \[e^{ix}=cos(x)+i*sin(x)\] eingesetzt wird.

Beim ersten Fehler steht: You can't use a prefix with `\endgroup'.

Bei den anderen: Missing $ inserted. Das verstehe ich aber nicht, weil ich doch alle $ geschlossen habe? Oder??

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Gleichungen, Latex, Programmiersprache, Fehlermeldung, Debug
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