Welcher Rechenweg ist korrekt?
Ich soll den Schnittpunkt dieser beiden Funktionen berechnen. Der Rechenweg meiner Lehrerin ist folgender.
Ich habe anders gerechnet.
/:2x
/ln
/:-0,5
/+/- Wurzel
Bei mir kommt auch +/- 2 raus aber nicht die 0. Habe ich etwas vergessen? Muss ich etwas beachten?
3 Antworten
Du darfst deinen ersten Schritt nicht durch führen bevor du nicht x = 0 ausgeschlossen hast. Denn durch 0 darf nicht dividiert werden. Also ist der erste Schritt zu prüfen ob x = 0 eine Lösung der Gleichung ist (und das ist es). DANN schließt du x = 0 aus und dividierst und rechnest weiter wie im Text.
Schlußfolgerung: Beim dividieren IMMER prüfen ob durch 0 dividiert werden könnte.
Ok klingt logisch, aber davon habe ich noch nie gehört. Ich dachte immer "wenn man was kürzen kann, dann kann man es kürzen. Das ist dann Teil des Lösungswegs". Nicht, dass ich vorher nochmal schauen muss, ob es eine mögliche Lösung ist. Wäre es möglich, dass du mir hierzu einen kurzen Merksatz formulierst, den ich mir für die Zukunft einprägen kann von wegen "Immer wenn du in einer Gleichung ...., musst du darauf achten ....."
Ich glaube, was erstmal eine gute Merkregel ist, ist dass ich mir angewöhne erst einmal alles immer auf eine Seite zu bringen und 0 auf der anderen Seite stehen zu haben. Dann ist das Ausklammern und der Satz vom Nullprodukt immer viel eindeutiger
Mit Ausklammern und dem Satz vom Nullprodukt wendest du implizit genau die Regel an die ich dir genannt habe. Das sieht man aber erst wenn man sich ein wenig mehr mit Termrechnen und Arithmetik beschäftigt. Aber wenn du über diesen Weg solche Fehler vermeidest, gut für dich.
Bei gleichen Basen gilt übrigens: Wenn a^m=a^n, dann m=n. Du kannst Dir das Logarithmieren also sparen und einfach nur die Exponenten vergleichen, da auf beiden Seiten der Gleichung die Basis e ist.
2x*(e^(-0,5x²=-e^(-2))=0
2x=0
x=0
0der:
-0,5x²=-2 |*(-2)
x²=4
x=±2
Kleine Ergänzung, obwohl DerRoll ja alles Relevante schon gut erklärt hat:
Nachdem du mit 2x kürzt, landest du ja genau dort, wo deine Lehrerin für die Ermittlung der Lösungen x₂ und x₃ in der drittletzten Zeile auch landet.
Vielleicht hat sie den "Umweg" über das Ausklammern, nachdem sie alles auf eine Seite gebracht hat, deshalb gemacht, um eben genau die Lösung x=0 anschaulich zu erhalten.
Ach ja, du schreibst in einem Kommentar an DerRoll:
Ich dachte immer "wenn man was kürzen kann, dann kann man es kürzen. Das ist dann Teil des Lösungswegs". Nicht, dass ich vorher nochmal schauen muss, ob es eine mögliche Lösung ist.
Schau dir mal zum Spaß diese Gleichung an:
Wie würdest du hierbei vorgehen?
Vermutlich würdest du die x auf eine Seite bringen und die Zahlen auf die andere:
Dann ergibt sich nach dem Zusammenfassen direkt die Lösung x=5.
So weit, so gut.
Aber was wäre, wenn beide Seiten erst einmal Faktorisieren, indem wir links die 3 und rechts die 2 ausklammern?
Jetzt könnten wir, getreu deiner Devise "wenn man was kürzen kann, dann kann man es kürzen", einfach mit x-5 kürzen und würden die Gleichung 3=2 erhalten, die offensichtlich falsch ist und daraus schließen, dass die Gleichung keine Lösung hat.
Die letzte Gleichung hat auch wirklich keine Lösung, aber die vorige Gleichung hatte eine Lösung, die wir durch Kürzen mit x-5 verloren haben.
EDIT: Ist für mich auf dem Bild schwer zu erkennen, ob das x mit im Exponenten steht oder nicht, meine Variante bezieht sich darauf, dass das x mit im Exponenten steht.
2 * x * e ^ (- 0.5 * x ^ 2) = 2 * e ^ (- 2 * x) | : 2
x * e ^ (- 0.5 * x ^ 2) = e ^ (- 2 * x) | das x vor dem e auf der linken Seite reinziehen
e ^ (ln (x) - 0.5 * x ^ 2) = e ^ (- 2 * x) | logarithmieren
ln (x) - 0.5 * x ^ 2 = - 2 * x
ln (x) - 0.5 * x ^ 2 + 2 * x = 0
Das lässt sich meines Wissens nach nur noch numerisch berechnen.
Zum Beispiel mit dem Newton-Verfahren, da musst du mal googlen.
Wie?. Ich kenne ja, dass ich 0 im Nenner prüfe für den Definitionsbereich, aber muss ich es also auch testen jedes Mal, bevor ich ein x kürze oder wie, um zu sehen ob es eine mögliche Lösung ist?