Stimmt mein Beweis? Wenn ja, wie verbessern/erleichtern, wenn nein bitte Erklärung?
Guten Morgen!
Ich muss folgende Aufgabe lösen:
Eigentlich sehe ich auf den ersten Blick, dass dad wahr ist. Spätestens bei der Zeichnung weiß man es doch. Ist es wirklich immer notwendig, sowas "triviales" so zu beantworten?
Wie sieht meine Lösung aus?
I.) Nullstellen
f(x)=0=1/x|:x 0=1
-> f keine Nullstellen, da die Gleichumg nicht lösbar ist. Das heißt, sie befindet sich in unserem Intervall entweder im oberen ODER unteren Quadranten.
II.) Quadranten und Werte- & Definitionsbereich
Damit f im oberen rechten Quadranten verläuft, dürfen x & y nur positive Werte annehmen. X ist bereits positiv definiert. Damit y einen negativen Wert annehmen kann, müsste eine positive durch eine negative oder viceversa getauscht werden. f lässt sich in g & h aufteilen. f(x)=g(x)/h(x); mit g(x)=1 & h(x)=x. Da es sich bei 1 um eine positive Zahl handelt und x perse nur positive Werte annehmen kann, gilt: f(x)>0.
Da die x & y Werte in f stets positiv sind, verläuft die Funktion im oberen rechten Quadranten.
II.) Falls die Funktion keine Extrema zwischen [0;Inf] hat, wechselt sie ihr Vorzeichen in der Steigung nicht.
f(x)=(1/x)=x-¹ => f'(x)=(1/x²)=-x-² => f''(x)= -(2/x³) =-2x-³
f'(x)=0=-x‐²=(-1/x² )=> x≠0, da sonst Division durch 0.
Um x² aus dem Nenner zu holen, wäre die Operation -¹ erforderlich.
f(x) =0-¹=x² => Wieder die nicht definierte Division durch Null.
=> Keine Lösungen, keine Extrema
III). Monotonieverhalten betrachten
Damit lässt sich der Verlauf der Funktion bestimmen.
=> ist f im Wertebereich [0;Inf] streng monton fallend, sinkt der y-Wert mit steigendem x-Wert immer Weiter. Dafür muss gelten:
f'(x) im Intervall [0;Inf] < 0
f'(x)=-x-² =(-1)*x-² < 0
-1/(x²) für alle x€|R, [0->Inf] x-²=(-1/x²)<0
Aufgeteilt hat man im Zähler -1 und im Nenner x². f(x)=g(x)/h(x); g(x)=-1 & h(x)=x²
Für jedes x im Definitionsbereich muss also gelten, dass das Ergebnis von h(x)=x² positiv ist.
Also muss gelten: x²>0 -> x*x>0
0 & negative Zahlen für x sind hier nicht definiert.
1. Mit sich selbst multipliziert ergibt jede Zahl stets eine positives Ergebnis.
2. -1 geteilt durch jede positive Zahl ergibt eine negative Zahl. Es folgt:
=> f'(x)=-x-²<0
=> f(x) ist streng monton fallend
IV).Wenn ich damit argumentiere, dass x ab fortlaufend größeren Werten immer kleinere Werte für y annimmt:
f(1)=1/1=1
f(2)=1/2=0,5
f(10)=1/10=0,1
f(100)=1/100=0,01
f(10.000)=1/10.000=0,0001 usw.
...
[V.) Betrachtung der Zeichnung
Eigentlich offensichtlich]
Zusammenfassend, Wie gezeigt:
I. Keine Nullstelle, somit bleibt f im oberen rechten Quadranten, da jedem x Wert nur ein y Wert zugestimmt werden kann, und hier sowieso |R- nicht berücksichtigt wird.
II. Da f keine Extrema hat, das heißt das Vorzeichen der Steigung wechselt nicht.
=> f wird nimmt entweder fortlaufend immer größere oder kleinere Werte an.
III. Sind die Werte f's d im Defintiomsbereich streng monoton fallend. Das heißt, sie werden kleiner und kleiner.
IV. Sinken die Werte für f fortlaufend, aber niemals unter 0.
Zusammengesetzt: f befindet sich im ersten, oberen rechten Quadranten.
Damit gilt, wie gezeigt:
Lim x->0 [f(x)=1/x]- =f(Inf)= 1/Inf -> +Inf
1 Antwort
Zum Beweis ersetzt man x durch die Nullfolge 1/n, n € N
Aus
folgt die Aussage unmittelbar.
Die Definition eines Grenzwerts besagt, dass eine Folge bzw. Funktion dem Grenzwert beliebig nahe kommt. Da ∞ undefiniert ist, ist diese Definition formal nicht erfüllt. Die Grösse ∞ ist deshalb kein Grenzwert, sondern eher der Hinweis, dass kein Grenzwert existiert.