Ungleichung mit quadratischer Funktion?
Ich habe gerade echt Probleme bei dieser quadratischen Ungleichung. Es geht speziell um Fall 1, wie bestimme ich denn dort die Lösungsmenge?
Mein Gedankengang:
In Fall 1 gilt alle x für die gilt x≥0 sind zulässig. Also alle reellen, positiven x-Werte inkl. 0. Das wäre ja aufgezeichnet die positive x-Achse inkl. 0. Das habe ich schonmal rot gestrichelt in der Skizze. Jetzt berechne ich die x-Werte der quadratischen Gleichung und erhalte zwei x-Werte. Der eine ist negativ und erfüllt nicht die Bedingung x≥0 (fällt raus) und der andere ist positiv und erfüllt die Bedingung. Aber warum ist dann in der Lösungsmenge x1 bis unendlich?
Ich vermute mal, es gibt eine weitere Bedingung mit y≥0, kann das sein? Wo findet man diese denn? (Falls die existiert)
3 Antworten
Hallo,
ich habe mal den ursprünglichen Term zeichnen lassen.
Die Ungleichung wird von x=-3 und von x≥-3+3√2≈1,243 erfüllt.
Deine Rechnung ist richtig. Nun musst du die Ergebnisse trichtig interpretieren.
Im ersten Fall setzt du x≥0 voraus. In deiner linken Skizze musst du also nur den Kurvenabschnitt rechts von der y-Achse betrachten. Bei der Umformung hast du richtig erhalten: 0≤x²+6x-9
D.h. es ist der Teil oberhalb (und auf) der x-Achse entscheidend, da x²+6x-9 positiv oder gleich Null sein soll. Und das gilt für x≥x1.
Im zweiten Fall wird die Ungleichung fur x=-3 erfüllt. Dieser Wert gehört ebenfalls zur Lösungsmenge.
🤓
Du hast praktisch mit = statt mit <= gerechnet. Für x = 10
ist die Ungleichung z. B. auch erfüllt.
Also sollte ich die Mitternachtsformel lieber als Ungleichung schreiben?
Woher wüsste ich denn dann, wie rum dass Ungleichheitszeichen sein muss?
Aber warum ist dann in der Lösungsmenge x1 bis unendlich
... weil Du mit der Nullstelle nur den Punkt bestimmst, ab dem die Ungleichung erstmals erfüllt ist. Die Nullstelle berechnest Du ja mit einem Gleichheitszeichen.
Ich finde es ein wenig problematisch, wenn Du als Skizze die umgeformte quadratische Gleichung zeichnest, weil man dann ums Eck denken muss:
Nein - wieso? Die y-Bedingung ist doch ≥ 9 und die ist doch gerade verarbeitet.
x > 0 und x > -3 + 3√ 2 verbindet sich insgesamt zu x > -3 + 3√ 2 und damit sind alle x Werte von da an Teile Lösungsmenge (für diesen Fall). Oder mit anderen Worten: Für jeden x-Wert größer als -3 + 3√ 2 führt der Ausdruck |x|(x+6) zu einem Wert größer als 9.
Woran hast Du aber erkannt, dass es nun von x1 bis unendlich geht und bspw. nicht von x2 bis - unendlich? Daran hängt es bei mir.
Da muss doch irgendwie eine y-Bedingung hervorgehen oder nicht?