Reellen Zahlen Bestimmen?
Bestimmen Sie alle reellen zahlen Z mit der Eigenschaft, dass wir alle positiven ganzen Zahlen an die Ungleichung 2n+1<z(3n+2) gilt
1 Antwort
Hallo,
teile durch 3n+2:
(2n+1)/(3n+2)<z.
Der größte Wert, den die linke Seite bei positiven n erreichen kann, ist der Grenzwert für n gegen unendlich und der lautet 2/3.
z muß also nur größer als 2/3 sein, dann stimmt die Ungleichung für alle n.
Herzliche Grüße,
Willy
Die Umformung zu (2n+1)/(3n+2)<z wirst Du wohl noch nachvollziehen können, denn ich habe einfach beide Seiten durch (3n+2) geteilt.
Da n eine positive ganze Zahl ist, ist 3n+2 auf jeden Fall größer als Null, so daß das Ungleichheitszeichen bleibt, wie es ist. Beim Teilen durch einen negativen Wert müßte ich es bekanntlich umdrehen.
(2n+1)/(3n+2) ergibt, wenn man für n nacheinander die 1; 2; 3....n einsetzt:
3/5; 5/8; 7/11...(2n+1)/(3n+2). Der Zähler der Brüche nimmt also jeweils um 2 zu, der Nenner um 3, so daß die Brüche immer kleiner werden. Der größte ist 3/5, den kleinsten bekommst Du, wenn Du n gegen unendlich gehen läßt.
Dazu teilst Du Zähler und Nenner durch n und bekommst diesen Bruch:
(2n/n+1/n)/(3n/n+2/n)=(2+1/n)/(3+2/n). Da 1/n und 2/n für n gegen unendlich gegen Null gehen, bleibt als Grenzwert 2/3.
Alle Werte, die (2n+1)/(3n+2) annehmen können, bleiben zwischen 3/5 als kleinster Zahl und 2/3 als größter.
Sobald z größer ist als 2/3, stimmt die Ungleichung für alle beliebigen n>0.
Da der Bruch niemals größer als 2/3 werden kann, bleibt z immer größer, wenn es größer als 2/3 ist.
Für alle z>2/3 ist demnach die Ungleichung erfüllt.
Wenn ich den Term 2n+1 durch den Term 3n+2 teile, muß ich eine Klammer setzen, wenn ich keinen Bruchstrich zeichnen kann.
Aber wie haben sie den Bruch 2n+1/3n+2 Umgeformt könnten sie mir das nochmal genauer sagen
Der Bruch ist (2n+1)/(3n+2). Setz die Klammern, sonst bezieht sich der Bruchstrich lediglich auf die 1 und die 3 und auf nichts anderes.
Ansonsten wurde einfach mit (1/n)/(1/n) erweitert, also Zähler und Nenner jeweils durch n geteilt. Das ergibt (2n/n+1/n)/(3n/n+2/n).
Das wiederum ist (2+1/n)/(3+2/n).
Wenn n gegen unendlich geht, verschwinden 1/n und 2/n, denn die gehen gegen Null.
Der Grenzwert, der übrigbleibt, ist 2/3.
Ah ok danke und könnten sie mir vll bei Aufgabe a helfen (Wenn sie bei mir auch die letzte Frage klicken)
Hallo!
Könnten Sie mir bitte noch schildern wie sie draufgekommen sind? Also der Lösungsweg?
Ich kann anhand der Lösungen den Rechenweg nicht nachvollziehen…
Dank.
Liebe Grüße