Reelle Zahlen Referat
Ich muss bald ein 20 minütiges Referat über Reelle Zahlen halten. Alles ist beisammen, nur finde ich nirgends eine Begründung WIESO man denn die Reellen Zahlen entwickelt hat/wieso man sie braucht/wieso die rationalen nicht mehr reichen. Zweitens werde ich das ganze mit Hilfe dieses Kreis Beispiels mit den Teil/Mengen zeigen. Nur ist da die Frage; Mit den Reellen Zahlen kommen im Prinzip einfach die irrationalen Zahlen zu den rationalen hinzu und bilden so als gemeinsame Menge die Reellen Zahlen? Danke für fachlich korrekte Antworten!
6 Antworten
Die reellen Zahlen sind oder lieber ist ein ideales Konzept. Du denkst wahrscheinlich an die Zahlen in der „Mehrzahl“. Dies ist ein Irrtum: es handelt such um einen Raum (deshalb der Singular). Dieser Raum ist gleichzeitig die Vervollständigung von folgenden Räumen (Strukturen):
- der algebraischen Struktur Q (der rationalen Zahlen) ausgestattet mit der Topologie, der der Abstand zugrunde liegt: d(p/q,p´/q´)=|p'/q'–p/q| für p, p´, q, q´ in Z mit q,q´>0. Die Vervollständigung in diesem Fall ist der Cauchy-Vervollständigung: in Q haben nicht alle Cauchy-Folgen einen Grenzwert, die Ergänzung des Raums durch R hingegen schon.
- der algebraischen Struktur Q (der rationalen Zahlen) ausgestattet mit der linearen Ordnung p/q < p´/q´ <==> p·q´ < p´·q´ für p, p´, q, q´ in Z mit q,q´>0. Die Vervollständigung in diesem Fall ist der Dedekind-Vervollständigung: in Q haben nicht alle nach oben beschränkten Teilmengen eine kleinste obere Grenze, in R dagegen schon.
Ontologisch sind die reellen Zahlen eine geometrische und dynamische Struktur: es handelt sich um einen Raum versehen mit der Struktur eines Körpers (hat eine Addition und Multiplikation Operation) und einer Topologie. Das Objekt ist auf konkrete Weise ideal: wenn jede scheinbar konvergente Folge hat entsprechend einen konkreten Wert, wogegen sie konvergiert (es gibt keine Löcher), jede nach oben/unten beschränkte Teilmenge hat ein Infimum/Supremum (ähnlich wie ein Minimum/Maximum aber nicht ganz das gleiche) … das heißt, es gibt keine Lücken.
- keine endlich erzeugte rekursive mathematische Sprache kann sich auf jede Zahl einzeln beziehen: dies ist ein sprachliches Problem, und bedeutet, es gibt Zahl die nie erwähnt werden können;
- wenn die reellen Zahlen konkretisiert werden mittels einer Darstellung durch Mengen, dann kann man R mit der Menge der (abzählbar) unendlichen 0-1 Folgen identifizieren. (Mann kann die bildlich nachvollziehen mindestens für das Intervall [0; 1].) Diese Menge wird 2^ω bezeichnet und nennt sich der Cantorraum. Nun kommen Mengen in einem Mengenuniversum vor. Leider wissen wir ausführlich, wie dieses Mengenuniversum aussieht, denn wir können höchsten Axiome annehmen, um dies ansatzweise zu beschreiben, und der Durchbruch überhaupt in der Mengenlehre durch den US-Amerikaner Paul Cohen war es, zu zeigen, dass man Modelle des Universums konstruieren kann, in denen verschiedene Axiomen wahr / falsch sind. Seine Methode heißt Forcing. Mittels dieser Methode nimmt man ein kleines Modell des Universums und (ich beschreibe dies ganz locker jetzt) zieht quasi DNS-Anweisungen und schiebt dies durch einen „Filter“, der quasi Fremdkörper zum Modell ist, um eine neue Kopie des Universums zu kommen. Ein Beispiel hierfür ist, wenn man eine Urstruktur des Cantorraums nimmt: die Menge der endlichen 0-1 Folgen. Diese kodieren Information. Der Filter definiert nun als Fremdkörper zum Modell eine völlig neue unendliche 0-1-Folge. Was heißt das? Man fängt mit einem (Modell des) Universum(s) an, mit was es für die reellen Zahlen hält, dann konstruiert man ein neues (Modell des) Universum(s) mit einer zum Originaluniversum neun Zahl.
Die reellen Zahlen bilden (bildet) letztlich ein sehr mysteriöses Objekt. Wir können dieses „Zahlen“system intuitiv begreifen, denn wir hatten als Zweck als wir diese Bestie erstellte, ein Ideales aufzubauen. Wir woll(t)en, ein vollkommenes geometrisches Ding haben, was rauskommt ist einerseits eine geometrische Struktur mit idealen Eigenschaften, aber anderseits etwas, dass man nicht vollständig oder ausführlich erfassen kann.
Irgendwann hat man festgestellt, dass man die Quadratwurzeln von natürlichen Zahlen, die keine Quadratzahlen sind, nicht als Bruch schreiben konnte. Ähnlich ging es bei dem Verhältnis von Kreisumfang zu -durchmesser.
Du hast mit deiner Vermutung recht, die Menge der reellen Zahlen ist die Vereinigung der (disjunkten = elementefremden) Mengen der rationalen und der irrationalen Zahlen.
Das ist Käse. Man definiert nicht zuerst die irrationalen Zahlen und dann vereint dies mit den rationalen, um auf die reellen Zahlen zu kommen. Man vervollständigt den Raum, um von den rationalen auf die reellen Zahlen zu kommen, und erst dann entfernt die rationalen, um auf die irrationalen zu kommen.
Man macht dann Beobachtung, wie dass jedes Polynom (über Z, Q oder R) eines ungeraden Grades eine Lösung in R hat (mittels Sätze aus der AnaIysis), und beweist, dass etliche davon nicht in Q liegen, und sind damit irrational.
Dies wäre eventuell einen Weg aus Q die Menge R \ Q zu konstruieren, leider geht es nicht, höchstens erreicht man Q^alg, die algebraische Vervollständigung von Q. Denn die Menge aller algebraischen Zahlen ist abzählbar unendlich, während die Potenz der reellen Zahlen überabzählbar ist: man kann nie alle reellen Zahlen auf einfache Weise so erreichen.
Deshalb ist die natürliche Herleitung:
- Z konstruieren —> Q konstruieren —> R konstruieren —> R \ Q konstruieren
in dieser Reihenfolge und nicht
- Z konstruieren —> Q konstruieren —> Q´ konstruieren —> R := Q u Q´ konstruieren.
Am einfachsten geht dies mit Wurzel(2). Wurzel(2) ist nicht rational, denn wäre Wurzel(2)= p/q mit natürlichen teilerfremden Zahlen p und q, so wäre 2q² = p². Damit ist p durch 2 teilbar, denn das Quadrat einer ungeraden Zahl ist ungerade. Also p = 2r mit einer natürlichen Zahl r. Folglich q²=2r² und damit ist auch q gerade im Widerspruch zur Teilerfremdheit von p und q. Analoges gilt auch für andere Wurzeln, die keine ganzen Zahlen sind.
Man bracht die reellen Zahlen also schon für Wurzeln. Erst recht ist die Kreiszahl Pi irrational, obwohl dies recht schwierig zu beweisen ist.
z.B. wollten die Griechen die Diagonale in einem Quadrat mit Seitenlänge 1 ausrechnen (ist ja nach Pythagoras die Wurzel aus 2). Das war dann ein Kulturschok, denn die Griechen glaubten dass man alles als Verhältnisse ganzer Zahlen (also als rationale Zahl) darstellen kann.
Oder auch bei der Kreisberechnung ist man draufgekommen dass man Pi benötigt und die nicht rational ist (kann man zeigen, ist allerdings höhere Mathematik)
Zahlen kommen in der Realität natürlich nicht vor, genausowenig wie irgendwelche anderen Objekte der Mathematik. Objekte der Mathematik sind immer nur gedachte, vorgestellte (bzw gedanklich/logisch konstruierte) Objekte.
Wieso die reellen Zahlen mal "reell" genannt wurden, da müsste man recherchieren. Aber bestimmt nicht deswegen, weil sie irgendwo auf den Bäumen wachsen würden.
Warum die rationalen Zahlen nicht reichten, steht schon in anderen Antworten.