Reelle Zahlen Referat

6 Antworten

Die reellen Zahlen sind oder lieber ist ein ideales Konzept. Du denkst wahrscheinlich an die Zahlen in der „Mehrzahl“. Dies ist ein Irrtum: es handelt such um einen Raum (deshalb der Singular). Dieser Raum ist gleichzeitig die Vervollständigung von folgenden Räumen (Strukturen):

  • der algebraischen Struktur Q (der rationalen Zahlen) ausgestattet mit der Topologie, der der Abstand zugrunde liegt: d(p/q,p´/q´)=|p'/q'–p/q| für p, p´, q, q´ in Z mit q,q´>0. Die Vervollständigung in diesem Fall ist der Cauchy-Vervollständigung: in Q haben nicht alle Cauchy-Folgen einen Grenzwert, die Ergänzung des Raums durch R hingegen schon.
  • der algebraischen Struktur Q (der rationalen Zahlen) ausgestattet mit der linearen Ordnung p/q < p´/q´ <==> p·q´ < p´·q´ für p, p´, q, q´ in Z mit q,q´>0. Die Vervollständigung in diesem Fall ist der Dedekind-Vervollständigung: in Q haben nicht alle nach oben beschränkten Teilmengen eine kleinste obere Grenze, in R dagegen schon.

Ontologisch sind die reellen Zahlen eine geometrische und dynamische Struktur: es handelt sich um einen Raum versehen mit der Struktur eines Körpers (hat eine Addition und Multiplikation Operation) und einer Topologie. Das Objekt ist auf konkrete Weise ideal: wenn jede scheinbar konvergente Folge hat entsprechend einen konkreten Wert, wogegen sie konvergiert (es gibt keine Löcher), jede nach oben/unten beschränkte Teilmenge hat ein Infimum/Supremum (ähnlich wie ein Minimum/Maximum aber nicht ganz das gleiche) … das heißt, es gibt keine Lücken.


Nun, was könnte daran falsch sein, die reellen Zahlen als individuelle Zahlen zu betrachten? Es gibt mehrere Gründe
  • keine endlich erzeugte rekursive mathematische Sprache kann sich auf jede Zahl einzeln beziehen: dies ist ein sprachliches Problem, und bedeutet, es gibt Zahl die nie erwähnt werden können;
  • wenn die reellen Zahlen konkretisiert werden mittels einer Darstellung durch Mengen, dann kann man R mit der Menge der (abzählbar) unendlichen 0-1 Folgen identifizieren. (Mann kann die bildlich nachvollziehen mindestens für das Intervall [0; 1].) Diese Menge wird 2^ω bezeichnet und nennt sich der Cantorraum. Nun kommen Mengen in einem Mengenuniversum vor. Leider wissen wir ausführlich, wie dieses Mengenuniversum aussieht, denn wir können höchsten Axiome annehmen, um dies ansatzweise zu beschreiben, und der Durchbruch überhaupt in der Mengenlehre durch den US-Amerikaner Paul Cohen war es, zu zeigen, dass man Modelle des Universums konstruieren kann, in denen verschiedene Axiomen wahr / falsch sind. Seine Methode heißt Forcing. Mittels dieser Methode nimmt man ein kleines Modell des Universums und (ich beschreibe dies ganz locker jetzt) zieht quasi DNS-Anweisungen und schiebt dies durch einen „Filter“, der quasi Fremdkörper zum Modell ist, um eine neue Kopie des Universums zu kommen. Ein Beispiel hierfür ist, wenn man eine Urstruktur des Cantorraums nimmt: die Menge der endlichen 0-1 Folgen. Diese kodieren Information. Der Filter definiert nun als Fremdkörper zum Modell eine völlig neue unendliche 0-1-Folge. Was heißt das? Man fängt mit einem (Modell des) Universum(s) an, mit was es für die reellen Zahlen hält, dann konstruiert man ein neues (Modell des) Universum(s) mit einer zum Originaluniversum neun Zahl.

Die reellen Zahlen bilden (bildet) letztlich ein sehr mysteriöses Objekt. Wir können dieses „Zahlen“system intuitiv begreifen, denn wir hatten als Zweck als wir diese Bestie erstellte, ein Ideales aufzubauen. Wir woll(t)en, ein vollkommenes geometrisches Ding haben, was rauskommt ist einerseits eine geometrische Struktur mit idealen Eigenschaften, aber anderseits etwas, dass man nicht vollständig oder ausführlich erfassen kann.

Die Dinger heißen "reelle" Zahlen, eben wie sie "reell", also "real" (= "wirklich") sind, in der realen Welt tatsächlich vorkommen.

Genannt wurden ja schon die Beispiele der Wurzeln von Nicht-Quadratzahlen und von Pi.

Ein anders Beispiel, dass auch schon die alten Griechen kannten, ist der "Goldene Schnitt", ein Verhältnis, das als besonders harmonisch angesehen wurde (und wird).

Die Zahl e hat Herr Euler sich ja auch nicht einfach ausgedacht, sondern in der Realität "gefunden" (frag mich aber nicht, wie ...)

Irgendwann hat man festgestellt, dass man die Quadratwurzeln von natürlichen Zahlen, die keine Quadratzahlen sind, nicht als Bruch schreiben konnte. Ähnlich ging es bei dem Verhältnis von Kreisumfang zu -durchmesser.

Du hast mit deiner Vermutung recht, die Menge der reellen Zahlen ist die Vereinigung der (disjunkten = elementefremden) Mengen der rationalen und der irrationalen Zahlen.

Das ist Käse. Man definiert nicht zuerst die irrationalen Zahlen und dann vereint dies mit den rationalen, um auf die reellen Zahlen zu kommen. Man vervollständigt den Raum, um von den rationalen auf die reellen Zahlen zu kommen, und erst dann entfernt die rationalen, um auf die irrationalen zu kommen.

Man macht dann Beobachtung, wie dass jedes Polynom (über Z, Q oder R) eines ungeraden Grades eine Lösung in R hat (mittels Sätze aus der AnaIysis), und beweist, dass etliche davon nicht in Q liegen, und sind damit irrational.

Dies wäre eventuell einen Weg aus Q die Menge \ Q zu konstruieren, leider geht es nicht, höchstens erreicht man Q^alg, die algebraische Vervollständigung von Q. Denn die Menge aller algebraischen Zahlen ist abzählbar unendlich, während die Potenz der reellen Zahlen überabzählbar ist: man kann nie alle reellen Zahlen auf einfache Weise so erreichen.

Deshalb ist die natürliche Herleitung:

  •  Z konstruieren —> Q konstruieren —> R konstruieren —> Q konstruieren

in dieser Reihenfolge und nicht

  • Z konstruieren —> Q konstruieren —> Q´ konstruieren —> R := Q u Q´ konstruieren.

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