Was genau du mit Koordinateninvarianz meinst, verstehe ich auf die Schnelle nicht - aber dass es einen Zusammenhang mit kartesischen Koordinatensystemen gibt, stimmt. Du kannst dir mit einer Scherung leicht klarmachen, dass der Zusammenhang zwischen "rechtwinklig im geometrischen Sinne" und "verschwindendes Skalarprodukt" in schiefwinkligen Koordinatensystemen nicht gilt.
Um hier herauszukommen, gibt es zwei Möglichkeiten:
Zum einen kann man erst ein Skalarprodukt einführen und danach die Winkel über das Skalarprodukt definieren (im Wesentlichen die vektorielle Formulierung des Cosinussatzes).
Zum Anderen kann man das Skalarprodukt für die "schiefe" Basis so definieren, dass es dieselben Werte annimmt wie für eine kartesische Basis. Dazu muss man natürlich beide Vektoren so transformieren, dass sie sich auf eine kartesische Basis beziehen; das entspricht je einer Matrizenmultiplikation. Wenn man die kartesische Basis entsprechend wählt, kommt man mit einer einzigen Matrix aus - man fasst Vektor a als Zeilenvektor auf und Vektor b als Spaltenvektor und bildet ein Produkt mit einer Matrix G dazwischen
(a, b) := a · G · b
wobei man G den "metrischen Tensor" der Basis nennt.
Was auf dasselbe hinauskommt wie diese zweite Möglichkeit, aber die Transformationen an eine andere Stelle verschiebt, ist die Einführung von "kovarianten Koordinaten":
Die "üblichen" (in der Schule verwendeten und auch sonst gebräuchlichen) Koordinaten nennt man "kontravariant", weil sie sich umgekehrt verhalten wie Basistransformationen. Wenn man die Länge der Basisvektoren verdoppelt, muss man die einzelnen Koordinaten eines Vektors halbieren, damit es derselbe Vektor bleibt. Wenn man die Basisvektoren mit einer Matrix transformiert, muss man die Koordinaten eines Vektors mit der inversen Matrix transformieren.
Es gibt auch "kovariante" Koordinaten, die etwas weniger anschaulich sind (jedenfalls solange man sich nicht daran gewöhnt hat) - siehe etwa http://walter.bislins.ch/physik/index.asp?page=Kovariante+und+Kontravariante+Komponenten#H_Vektorkomponenten_in_einem_schiefen_Koordinatensystem
Diese Koordinaten transformieren sich ebenso wie die Basisvektoren (der originalen schiefwinkligen Basis), verdoppeln sich also z. B., wenn man die Längen der Basisvektoren verdoppelt.
Üblicherweise stellt man kontra- und kovariante Komponenten so dar, dass man die Indizes von kontravarianten Koordinaten rechts oben und die Indizes von kovarianten Koordinaten rechts unten an das Vektorsymbol schreibt.
Man kann as aber auch über Spalten- und Zeilenvektoren ausdrücken: die üblichen kontravarianten Koordinaten werden als Spaltenvektor notiert, die kovarianten Koordinaten als Zeilenvektor. Dann steckt die eigentliche Arbeit in der Umwandlung von Spalten- in Zeilenvektoren und/oder umgekehrt (die "Transposition" ist also kein einfaches Abschreiben mehr). Dafür lässt sich das Skalarprodukt wie gewohnt ausrechnen - man fasst den Spaltenvektor als 1×n- und den Zeilenvektor als n×1-Matrix auf, das Skalarprodukt von a und b ist dann
( b^1 )
( )
a · b = ( a_1, a_2, a_3 ) · ( b^2 ) = a_1 b^1 + a_2 b^2 + a_3 b^3
( )
( b^3 )
Der Vorteil von kartesischen Koordinaten ist, dass kontra- und kovariante Komponenten dieselben Werte haben.
