Man kann bloß mitilfe der Definition auf das Ergebnis kommen, indem man mit Mengenlehre argumentiert.

DEFINITION. Seien k, n Kardinalzahlen mit k ≤ n. Bezeichne außerdem mit n eine n-elementige Menge. Dann setzt man:

(n über k) := |{A ⊆ n : |A|=k}|.

Rein mengentheoretisch ist ƒ : {A⊆n : |A|=k} ⟶ {B⊆n : |B|=n-k} definiert durch ƒ(A) = ~A = n\A eine Bijektion. Folglich

(n über k) = |{A⊆n : |A|=k}| per Definition
  = |{B⊆n : |B|=n-k}| wegen def Bijektion ƒ
  = (n über n–k)   ...1

für alle n, k mit k≤n. Da nun g : n ⟶ {A⊆n | |A|=1} definiert durch g(x) = {x} eine Bijektion ist, gilt

(n über n–1) = (n über 1) wegen (1)
  = |{A⊆n | |A|=1}|
  = |{x : x∈n}| wegen der Bijektion g
  = n,

Wzzw.

Beachte dass ich keine einzige dieser !-Formeln verwendet, sondern rein mittels Bijektivitäten argumentiert habe.

...zur Antwort

Kurze Antwort: du (man im Allg.) brauch(s)t *Selbststudium*, um Mathe zu beherrschen.

> Man kann es mir so oft erklären, ich verstehe es nicht

Das ist der Kern des Problems. Man kann niemals passiv angeeignet werden noch funktionierts, wenn einem jemand anders die Konzepte erzählt. Ich weiß, du übst, und das ist toll, aber reicht offenkundig nicht aus. Bei Mathe muss man selber aktiv mitmachen—selber Sachen (klar mit Nachschlagwerken wie Fachliteratur) herleiten, für sich selbst die Sachen anhand der Definitionen klären.

Mathe beschäftigt sich mit juristisch genau definierten Spielrahmen und den darin liegenden und miteinander im Verhältnis stehenden Objekten. Diese Rahmen+Objekte muss man „kennenlernen“, damit rumspielen, ein sicheres Gefühl dafür entwickeln und da reicht es nicht, passiv zuzuhören oder nur die Aufgaben zu machen. Man sollte zusehen, dass man wie bei jedem anderen Interesse alles mögliche herausfindet, bis man damit *vertraut* ist.

Ich beobachte, dass viele ein instabiles Verständnis besitzen: sie lernen ein paar ihnnen vllt sinnlos erscheinende Regeln, gerade genug um die von Lehrer gesetzten Aufgaben zu lösen. Besser ist es, ein robustes, flexibles Wissen zu haben, wo man wirklich gründlich von den Prinzipien zu den Ergebnissen alles herleiten kann. Das hat folgende Vorteile: dieses Wissen ist erzeugend und deshalb kompakter, schwieriger zu vergessen und leichter, flexibel in völlig neuen Situationen umzusetzen. Wenn man nur lange Faktenliste auswendig „lernt“, kann man plötzlich nichts, wenn sich die Situation verändert. Das führt zu Frust, weil man mit sich eine Riesenmenge an Information mit sich schleppt und immer was dazu packen muss, ohne den Überblick zu behalten, und man vergisst viel.

Ein weiterer Tipp: publizierte Fachbücher mit Titeln „Einführung in die AnaIysis I“, „Einführung in die Lineare Algebra I“, etc. sind toll. Die kannst du vllt nicht an der Schule finden, aber schon an Unibibliotheken, Campusshops und sogar bei Thalia! Mit solcher ausführlichen Fachliteratur kannst du dir *gründlich* die Gebiete aneignen. Das kostet Zeit. Dafür ist es aber ein sicherer Weg. Wenn du nicht nach einfachen Antworten suchst, sondern etwas, das langfristig hilft, kann ich dir sowas empfehlen: selbstständig sich mithilfe von echter Fachliteratur (idealerweise nicht Schulliteratur, wenn möglich) die Themen aneignen.

Dann, wenn du mit anderen fachlichen Austausch hast (das solltest du, auch beim Selbststudium), kommst du mit spezifischeren Fragen und der Austausch lohnt sich, weil du nicht mehr passiver Zuhörer bist, sondern aktiver Forscher!

...zur Antwort

Vorab gilt: Zeitreisen ist immer problembehaftet. Darum wird jegliche Verwendung davon nie 100%ig problemfrei. Man kann höchstens verlangen, dass die Umsetzung konsitent ist. Das ist m. E. Rowling relativ gut gelungen, vor allem aus zwei Gründen:

1. Sie schließt alle Lücken—ein Umkehrer wird nur einer verantwortlichen Person (Hermine) gegeben, die ihn nur für beschränkte Zwecke verwenden will;
2. der Modus der Zeitreise umgeht viele Probleme.

Was meine ich mit Modus? Denke selber nach: viele tun das nämlich nicht. Es gibt viele Arten der Zeitreise. Z. B.

1. Bewusstseinsübertragung in ein früheres Ich (mit od. ohne Gedächtnisverlust);
2. Die ganzen Rahmen werden resettet (ohne Reise) und nur erwa einer weiß Bescheid;
3. Man reist als sich selbst (etwa durch ein Wurmloch o. Ä.) und taucht in der Vergangenheit auf
3a. und man ersetzt sich selbst;
3b. oder man kommt mehrfach vor.

Dazu kommen die Optionen:

A. die original Zeitreihe wird ersetzt;
B. die original Zeitreihe bleibt erhalten und
B-1. es handelt sich um eine alternative Realität; oder
B-2. es handelf such dieselbe.

Bei Rowling geht es um 3b + B-2. Das har den Vorteil: nichts neues passiert—das Universum hat halt hier und dort ein paar Stellen mit Schleifen eingebaut und diese stören das Universum nicht, sondern sind Teil davon.

Das ist nicht ohne Probleme: ein dummer Zauberer könnte zurück reisen und sich selbst (vllt mithilfe eines Tarnumhangs) den alten Zeitumehrer wegnehmen und die Schleife dadurch zerstören.

Was dein Anliegen angeht… sowas kommt tatsächlich in HISHE vor (in Youtube suchen). Ich finde den Einwand aber nicht so sauber. Rowling könnte durchaus daran gedacht haben und dafür in ihrem Kopf zumindest gesorgt, indem bspw. Zeitreisen durch eine Reichweite beschränkt ist (theoretisch wäre sonst McG/Dumbledore zurück nach 1945 oder was auch immer gereist und hätte den alten Tom Riddle getötet, oder gleich Salasae Slytherin).

...zur Antwort

Für alle Objekte x gilt:

x ∈ ƒ^-1(A∩B) ⟺ ƒ(x) ∈ A∩B
 ⟺ ƒ(x) ∈ A∩B
 ⟺ ƒ(x) ∈ A und ƒ(x) ∈ B
 ⟺ x ∈ ƒ^-1(A) und x ∈ ƒ^-1(B)
 ⟺ x ∈ ƒ^-1(A) ∩ ƒ^-1(B)

Also ∀x: x ∈ ƒ^-1(A∩B) ⟺ x ∈ ƒ^-1(A) ∩ ƒ^-1(B).
Also ƒ^-1(A∩B) = ƒ^-1(A) ∩ ƒ^-1(B).

Für alle Objekte y gilt:

y ∈ ƒ(A∩B) ⟺ ∃x∈A∩B: y =  ƒ(x)
 ⟺ ∃x: x∈A∩B & y =  ƒ(x)
 ⟺ ∃x: x∈A & x∈B und y = ƒ(x)
 * ⟹ ∃x: x∈A & y = ƒ(x) und ∃x: x∈B & y = ƒ(x)
 ⟺ ∃x∈A: y = ƒ(x) und ∃x∈B: y = ƒ(x)
 ⟺ y ∈ ƒ(A) und y ∈ ƒ(B)
 ⟺ y ∈ ƒ(A) ∩ ƒ(B)

Also ∀y: y ∈ ƒ(A∩B) ⟹ y ∈ ƒ(A) ∩ ƒ(B).
Also ƒ(A∩B) ⊆ ƒ(A) ∩ ƒ(B).

Zu zeigen dass Gleichheit nicht gilt, reicht es aus zu zeigen, dass * nicht umkehrbar ist. Aber wir machen es direkt mit der Behauptung. Sei z. B. A = {a} und B = {b} wobei a ≠ b. Sei C = {c} und setze ƒ : {a; b} ⟶ {c} mit ƒ(x)=c für alle x. Dann gilt

ƒ(A∩B) = ƒ(Ø) = Ø ≠ {c} = {c} ∩ {c} = ƒ(A) ∩ ƒ(B).

Darum ist es nicht allgemein der Fall, dass ƒ(A∩B) = ƒ(A) ∩ ƒ(B).

...zur Antwort

theoretisch kommt NUR der momentanen Geschw. Wirklichkeit zu (genauer genommen dem Impuls). Das heißt theoretisch kannst du in der Natur direkt den Impuls wiederfinden.

Die mittlere Geschw. gibts hingegwn gar nicht physikalisch—sie ist rein mathematischer Natur.

Berechnungsmäßig brauchen wir beides. Letzteres gebrauchen wir alleine für sich und aber auch um ersteres numerisch zu approximieren. Dein Auto/Navi/Handy, viels berechnet andauernd Änderungsraten und modelliert somit die Entwicklung von Dynamiken.

...zur Antwort

SEMANTISCHER ANSATZ
Du kannst semantisch alle 0-1-Fälle (es sind 2^4) zu betrachten. Das sind „Bewertungen”. Prüfe, unter welchen Bewertungen alle Aussagen wahr bewertet werden. Jetzt hast du eine Teilmenge der 2^4 Bewertungen. Kontrolliere, ob bspw. in allen Bewertung A,B,C,D jeweils einen eindeutigen Wert (immer 0 oder immer 1) haben. Bspw. hat A immer den Wert 0, so kannst du erschließen, A war notwendigerweise nicht dabei. Hat A in manchen Bewertungen 0 in anderen 1, so kannst du nichts aussagen.

SYNTAKTISCHER ANSATZ
Erschließe logisch aus den Aussagen, ob A bzw. D wahr sind.
Hier:

Angenommen, A sei wahr.
Dann wegen der 2. Aussage ist D auch wahr. Wegen der 1. Aussage ist B wahr. Daraus folgt, dass B&D wahr ist. Widerspruch!! Also muss A falsch sein.

Können wir was über D erschließen? Ja! Wegen der 1. & 2. Aussage muss D falsch sein.

...zur Antwort
Kennt ihr ein Video welches das gut erklärt

Ich kenne was noch besseres: deine Vorlesung. Das ist sogar gratis und erfolgt ohne Werbung.

Noch dazu gibt es … das Vorlesungsskript.

...zur Antwort

ggT(37, 10) = 1, also sind 37 und 10 relativ prim, darum sind 37^m und 10^n relativ prim für alle m, n > 0. Insbesondere gilt 10^n | 37^m für keine m, n > 0.

...zur Antwort
sind alle intensionierbaren reelen Zahlen möglicherweise oder theoretisch als binär-code ohne ambiguität repräsentierbar

Klar. Alle reellen Zahlen lassen sich eindeutig durch jeweils (1 oder 2) binäre Folgen identifizieren. Die Folgen sind aber i. Allg. abzählbar unendlich lange. Damit ist die Menge der Ausdrücke dann überabzählbar groß.

Du kannst alle Zahlen ohne Ambivalenz durch Ziffernexpansionen in jeder Basis darstellen.

wenn unendlich viele Individuelle Menschen bei einem technologischen stand von 1960 existieren,können diese sich dann mit überabzählbar vielen reelen Zahlen beschäftigen?

Metaphysische Frage. Welche Unendlichkeit meinst du? Abzählbar unendlich? Dann nein. Deren kollektive Arbeit wäre auch für keinen einzigen Menschen (abzählbar) unendlich, wenn die Kommunikationsgeschwindigkeit genauso ist wie heute und in unserem Universum.

Zum Bsp. Angenommen, du willst bspw. π exakt berechnen. Person n hat die Aufgabe, die n-te Nachkommastelle von π zu berechnen (zur Basis zehn oder 2, egal). Damit all diese Anweisung bekommen würde eine Ewigkeit dauern. Um das ganze Ergebnis „anzusehen“ würde ebenfalls eine Ewigkeit dauern und du würdest sterben, bevor du dir alles anschauen kannst. In der Tat würden alle Personen ab einem gewissen großen N schon tot sein, bevor sie die Anweisung bekämen, deren Berechnung durchzuführen. Auch wenn alle unsterblich wären, dauert das ganze eine Ewigkeit. Wenn wir annehmen, alle führen deren Berechnungen gleichzeitig aus und wir könnten uns gleichzeitig alles anschauen, würde unser Gehirn nur ein endliches Stück davon betrachten können.

Wir müssen schon unsterblich sein und mit Gehirn von unendlicher Kapazität ausgestattet sein, in welchem Falle wir dann keine unendlich vielen Menschen bräuchten. Das ganze erfordert, dass man sowas wie Gott wäre.

...zur Antwort

Tipp vorab: Es ist sofort nahe liegend, anhand der Formulierung des Problems, dass es hilfreich sein wird, wenn man seine sprachlichen Mittel ergänzt, damit man sich auf die Zeitpunkte explizit beziehen kann. Das ermöglich, dass man differenziert und klarer die Verhältnisse zum Ausdruck bringen kann.

---

Bezeichne mit A(t) bzw. R(t) das Alter des Autos bzw. der Reifen zum Zeitpunkt t. Bezeichne mit t₁ den Zeitpunkt, der „jetzt“ entspricht. Bezeichne mit t₀ (< t₁) den Zeitpunkt von „damals“ als das Auto so alt war, wie die Reifen jetzt sind. Bezeichne mit t₂ (> t₁) den „zukünftigen“ Zeitpunkt, wann die Reifen so alt sein werden, wie das Auto jetzt ist. D. h.

1...    A(t₀) = R(t₁)
2...    R(t₂) = A(t₁)

Darum bedeuten

Ein Auto ist siebenmal so alt, wie die Reifen waren, als das Auto so alt war, wie die Reifen jetzt sind
Bed. II...    A(t₁) = 7·R(t₀)

und

Wenn die Reifen so alt sein werden, wie das Auto jetzt ist, dann sind Auto und Reifen zusammen 51 Jahre alt.
Bed. I...    A(t₂) + R(t₂) = 51

Nun gilt allgemein

(AP)...    A(t´) – A(t) = R(t´) – R(t) = t´– t für alle t, t´ ∈ ℝ

weil der Alternprozess linear ist. Die erste Bedingung lässt sich wie folgt vereinfachen:

R(t₀) = R(t₁) – (t₁–t₀) wegen AP
= R(t₁) – (A(t₁)–A(t₀)) wegen AP
= R(t₁) – (A(t₁) – R(t₁)) wegen 1 *** ⟵ das suchst du ***
= 2R(t₁) – A(t₁)
⟹ mittels Bed I
4...    A(t₁) = 7·R(t₀) = 7(2R(t₁) – A(t₁))

Daraus ergibt sich R(t₁) = 4/7 · A(t₁).

Bedingung II wird wie folgt behandelt:

A(t₂) = A(t₁) + (t₂–t₁) wegen AP
= A(t₁) + (R(t₂)–R(t₁)) wegen AP
= A(t₁) + (A(t₁)–R(t₁)) wegen 2
= 2A(t₁) – R(t₁)
⟹ mittels Bed II
5...    51 = A(t₂) + R(t₂) = A(t₂) + A(t₁) wegen 2
           = 3A(t₁) – R(t₁)

Daraus folgt 51 = (3 – 4/7)·A(t₁), also A(t₁) = 51·7/17 = 21 und damit R(t₁) = 4/7 · 21 = 12.

...zur Antwort

nein, weil ggt(n^2, n–1)=1, weil
n^2 – (n+1)(n–1) = 1

...zur Antwort

tat er nicht. Es gilt schlichtweg:
F := dp/dt = ma
wobei := eine Definition bedeutet und ma analytisch gleichwertig zu dp/dt ist (unter Annahm konstanter Masse).

Newtons Gedankenblitz war es, diese *Eigenschaft* (Bewegungsänderung eines Körpers) kausal in Verbindung zu setzen mit Äußeren Kraftquellen: sein Axiom besagt, andere Dinge können auf die Bewegung eines Körpers wirken, dabei werden ihre Wirkungsgrade (Kräfte) zusammen addiert und das ist exakt gleich F.

D. h. er setzte F_res mit F_Körper gleich. Und es bedürfte keines Newtons, um zu erkennen, dass F_Körper = ma, sondern dass F_res = ma vermittels F_res = F_Körper

...zur Antwort