Ist die Mächtigkeit einer Produktmenge A x B immer das Produkt der Mächtigkeiten von A und B?

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Ja, weil dies buchstäblich die Definition ist:

Definition. Seien κ, λ Kardinalzahlen, dann κ·λ := |A x B|, wobei A, B Mengen sind mit |A| = κ und |B| = λ.

Man muss natürlich beweisen, dass diese Operation wohldefiniert ist (leichte Aufgabe für dich).

Woher ich das weiß:Studium / Ausbildung

Hier ausführlich:
Seien κ, λ ∈ Card.

Fall 1. κ = 0 od. λ = 0, dann κ·λ = 0

Fall 2. κ, λ endlich, dann κ·λ = Produkt in der Struktur (IN, ·)

Fall 3. κ ≠ 0, λ ≠ 0 und mindestens eines von κ, λ sei unendlich. Dann (Theorem) κ·λ = max{κ; λ}.^

___

^ Siehe bspw. 3.14, Seite 31, Set Theory (Jech).

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Im endlichen Fall ja, das findest du leicht mit einer Bijektion raus (nimm o.B.d.A. an, dass A = {1,...,|A|} und B = {1,...,|B|} gilt und überlege dir dann, wie eine Bijektion von AxB nach {1,...,|A||B|} aussehen könnte). Im unendlichen Fall fällt mir zumindest kein Gegenbeispiel ein, bzw. wenn du dich im unendlichen Fall mit unendlich als Mächtigkeit zufrieden gibst, lässt sich das auch einfach beweisen.

im unendlichen könnte es schwer werde weil A und B abzählbar unendlich sind, aber AxB (schätzungsweise) überabzählbar unendlich ist.
Erinnert an die unendlich vielen busse mit den unendlich vielen Sitzplätzen.

aber unendlich ist alles davon, grob gesagt apsst es also :-)

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@berndao2

Wenn A und B abzählbar sind, ist auch AxB abzählbar. (Das lässt sich leicht einsehen mit Cantors Diagonalverfahren.)

Dennoch ist richtig: Die Kardinalität einer Produktmenge ist stets das Produkt der Kardinalitäten der einzelnen Mengen. Bei nicht-endlichen Kardinalzahlen muss dieses Produkt aber nicht unbedingt größere sein als das Maximum der Kardinalitäten der einzelnen Mengen.

Stets größer als die Kardinalität einer Menge ist die Kardinalität ihrer Potenzmenge (d.h. der Menge aller Teilmengen jener Menge).

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@grtgrt

ja, stimmt, der gute Cantor mit seinem unregelmäsigen Muster :-/

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für endliche mengen ja, für unendliche bleibt die mächtigkeit gleich

Woher ich das weiß:Studium / Ausbildung – Info studium rwth aachen

sind a,b aber nicht abzählbar während axb überabzählbar ist?
oder irre ich da?

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Nein.

Theorem (ZFC). Seien κ, λ ∈ Card mit κ, λ ≠ 0. Falls κ oder λ unendlich ist, so gilt κ·λ = max{κ, λ}.

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