Deine neue Matrix kann generell nie vollen Rang haben, denn sonst wäre sie ja invertierbar, dann wäre aber die Determinante von B-aI (a ist der Eigenwert) von 0 verschieden. Du musst also das LGS Bx = 0 lösen, der Lösungsraum ist dann dein Eigenraum.

...zur Antwort

1- ist praktisch dasselbe wie 1. Das - schreibt man noch dahinter, um zu sagen, dass man sich für den Grenzwert von links der 1 annähert (d.h. man setzt quasi Werte ein, die von unten immer näher an 1 gehen, z.B. 0,9 -> 0,99 -> 0,999 -> 0,999). Würde man 1+ schreiben, so hieße das, dass man von oben an 1 rangeht (z.B. 1,1 -> 1,01 -> 1,001 -> 1,0001 ...). Schreibt man weder - noch +, so heißt das ganz einfach, dass man beide Möglichkeiten zulässt (dieser Grenzwert existiert nur dann, wenn der links- und der rechtsseitige Grenzwert, das sind die beiden oberen, gleich sind).

...zur Antwort

Dass 1000n in O(n) liegt, bedeutet, dass es ein von n unabhängiges C geben muss, sodass 1000n <= C*n gilt. Dabei kannst du natürlich C = 1000 setzen, denn es gilt immer 1000n <= 1000n. Du kannst dein C aber nie so groß wählen, dass n^2 <= C*n gilt, denn es gilt n^2 = n*n und n*n <= C*n gilt nur dann, wenn auch n <= C gilt (Division durch n). Egal, wie groß du dein C also wählst, kannst du ein beliebiges n wählen, das größer ist als C, und für dieses n gilt dann nicht n^2 <= C*n.

...zur Antwort

Finde es etwas dreist, wie viele hier die Sachlage gar nicht kennen, aber einfach mal schnell den Weg des geringsten Widerstandes gehen und dem Fragesteller unterstellen, gespickt zu haben. Wenn du nicht gespickt hast, sag dem Lehrer das so, rede vllt. mit deinen Eltern und frag ansonsten den Lehrer, ob du die Formeln auf das Abgabeblatt schreiben kannst. Wenn er dir dann androht, darauf Formpunkte abzuziehen, dann kannst du denke ich mit dem Schulleiter oder Klassenlehrer oder so sprechen, das ist dann ziemlich assozial von deinem Lehrer.

...zur Antwort

Deine Frage ergibt keinen Sinn, da wir sie als Menschen nicht beantworten können bzw. eine vierte Dimension überhaupt nicht definiert ist.

...zur Antwort

Ich finde es unfair, dass sich unsere Sprache ändert. Wir sprechen schließlich auch noch so wie unsere Vorfahren im alten Germanien.

...zur Antwort

WoW war zu seinen Hochzeiten vor mehreren Jahren deutlich erfolgreicher als mittlerweile (momentan rächt sich für die Entwickler die Geldgeilheit, die sich in den letzten Jahren sehr bemerkbar gemacht hat, ziemlich). Es wird in meinen Augen gespielt, weil es keine besseren Alternativen im Sinne von "klassischen" MMOs gibt (MMOs sind die Gruppe an Spielen, zu denen WoW gehört), sondern die meisten populären MMOs eher auf Nischengruppen abzielen (Spiele wie Guild Wars 2 und TESO sind zwar gut gemacht, aber keineswegs massentauglich). WoW ist quasi das letzte "große" klassische MMO und viele Spieler spielen es allein deshalb. WoW ist früher überhaupt erst erfolgreich geworden, weil es generell so ziemlich das erste massentaugliche große MMO im Westen war. 12€ im Monat kostet es deshalb, weil früher die Serverkosten noch weitaus höher waren als jetzt, und die Entwickler mittlerweile auf einem Trip sind, auf dem sich auch Publisher wie EA momentan befinden; man will einfach möglichst viel Geld für möglichst wenig Arbeit machen. Da dieses Prinzip momentan auch noch einigermaßen gut funktioniert, werden die monatlichen Gebühren auch noch eine Weile bestehen bleiben, aber so gesehen gibt es absolut keine Rechtfertigung für diesen Preis, wenn man bedenkt, was in WoW alles Echtgeld kostet:

  • das Spiel an sich hat musste bis vor Kurzem gekauft werden
  • die Abokosten generell kommen dazu
  • jede neue Spielerweiterung (ca. eine alle zwei Jahre) muss zum Preis eines vollwertigen Spiels gekauft werden
  • Skins (das sind praktisch coolere Texturen für Sachen wie Ausrüstung, Waffen, Reittiere etc.) mit aufwendigen Animationen können zusätzlich gekauft werden, zum Teil für 25€ pro Skin. Es ist deutlich ersichtlich, dass sich Blizzard (die Entwickler) für diese kostenpflichtigen Skins mehr Arbeit macht als für kostenlose Texturen, die im Spiel schon vorkommen, obwohl für das Spiel in Form von Spielerweiterungen und Abokosten bezahlt wird
  • Serverleistungen (das sind diverse Leistungen wie das Ändern eines Charakternamens, das Verschieben eines Charakters auf einen anderen Server etc.) kosten teilweise 60€
  • Die Ingamewährung des Spiels kann durch Echtgeld gekauft werden, d.h. das Wirtschaftssystem des Spiels kann (und wird) massiv durch Echtgeld beeinflusst (das wird auch pay-to-win genannt, eine Strategie von fast ausschließlich Entwicklern von kostenlosen Spielen).

Die Grafik des Spiels ist aber tatsächlich nicht mehr so schlecht, wie sie es früher einmal war. Man kann keine High-End-Grafik erwarten, aber das kann man von keinem MMO, da MMOs auch gar darauf ausgelegt sind, gute Grafik zu haben.

...zur Antwort

Du kannst dir überlegen, dass sin(x) differenzierbar ist und die Ableitung durch cos(x) gegeben ist. Du weißt auch, dass sin(0) = 0 gilt. 1 = cos(0) ist also die Ableitung von sin(x) an der Stelle x = 0. Per Definition der Ableitung ist diese jedoch auch gleich dem Grenzwert von (sin(x)-sin(0))/(x-0) für x -> 0. Da sin(0) = 0 gilt, bleibt sin(x)/x für x -> 0 übrig. 1 ist wie gesagt die Ableitung für x = 0, d.h. es folgt sin(x)/x -> 1 für x -> 0. f ist als Quotient der stetigen Funktionen sin(x) und x überall stetig, wo es existiert. Setzen wir f(0) = 1 (also gleich dem Grenzwert für x -> 0), so haben wir die Funktion stetig in 0 fortgesetzt.

...zur Antwort

Die Aufgabenstellung ergibt keinen Sinn. Für welche x gilt f'(x) = 0 und was wissen wir über f (Definitionsbereich, wo ist sie stetig/differenzierbar, sind irgendwelche Anfangswerte gegeben?).

...zur Antwort

Deine Relation ist antisymmetrisch, da für alle x und y, für die sowohl x < y als auch y < x gilt, x = y folgt. Das gilt nämlich deshalb, weil überhaupt keine x und y existieren, für die gleichzeitig x < y und y < x gilt. Aber gerade, weil es die nicht gibt, können wir sagen, dass für alle (x,y), für die das gilt, die Gleichheit folgt. Die Aussage hat dann eben nur kein wirkliches Gewicht. Vergleiche das mal mit der Aussage "Wenn -5 eine Primzahl ist, dann ist die Erde eine Scheibe". Das zweite stimmt garantiert nicht, aber da das erste auch nicht stimmt, ist es egal, was dahinter noch kommt.

...zur Antwort

Natürliche Zahlen sind Zahlen wie 0, 1, 2, 3, 4 und so weiter. Ganze Zahlen sind diese Zahlen und noch alle negativen Zahlen davon, also 0, 1, -1, 2, -2, 3, -3 und so weiter. Rationale Zahlen sind die Zahlen, die du rausbekommst, wenn du zwei ganze Zahlen durcheinander teilst. Die Quadratwurzel von den meisten natürlichen Zahlen ist irrational, das heißt, sie entsteht nicht durch das Teilen zweier ganzer Zahlen. Die einzigen natürlichen Zahlen, deren Quadratwurzel nicht irrational ist, heißen Quadratzahlen, das sind Zahlen wie 1, 4, 9, 16, 25, 36..., also die Zahlen, die du rausbekommst, wenn du eine beliebige Zahl mit sich selbst multiplizierst (das wird auch Quadrieren genannt). Du kannst leicht ausprobieren, dass 5 keine Quadratzahl ist, denn 2² ist 4 und 3² ist 9, die 5 liegt aber genau dazwischen und wird also von keiner natürlichen Zahl "getroffen". Bei Zahlen wie 0,01 musst du etwas mehr machen. Die Wurzel einer irrationalen Zahl ist immer irrational; da pi beispielsweise irrational ist, ist die Wurzel von pi auch irrational. Steht unter der Wurzel eine positive rationale Zahl, heißt das, dass du diese rationale Zahl durch Division zweier natürlicher Zahlen entsteht. Sind BEIDE dieser natürlichen Zahlen Quadratzahlen, so ist die Wurzel deiner Zahl auch rational, ansonsten ist sie irrational. 0,01 lässt sich beispielsweise als 1/100 darstellen. Sowohl 1 als auch 100 sind aber Quadratzahlen, denn 1² = 1 und 10² = 100. Also ist die Wurzel aus 0,01 auch rational (die kannst du dann berechnen, indem du aus 1 und aus 100 die Wurzel ziehst und wieder beide Zahlen durcheinander teilst, die Wurzel aus 1/100 wäre also 1/10, das ist 0,1).

...zur Antwort

Als Veranschaulichung, wir wissen, dass jede Gruppe genau ein Element mit Ordnung 1 hat, nämlich das neutrale Element. Unendliche zyklische Gruppen, in denen jede Ordnung (also 1, 2, 3, ...) genau einmal vorkommt, kann es nicht geben, da die Dinger alle isomorph zu (Z,+) sind. Gibt es aber unendliche nichtzyklische Gruppen, für die das gilt?

...zur Antwort

Die Folge hat zwei Häufungspunkte, nämlich +unendlich und -unendlich. Das siehst du daran, dass (-3)^n = (-1)^n*3^n gilt und 3^n gegen unendlich geht. Geht also (-3)^n gegen +unendlich und -unendlich, so auch (-3)^n+10. Der Limes inferior von (-3)^n+10 ist der kleinste Häufungspunkt, also gleich -unendlich. Der Limes inferior von -3^n+10 wäre in der Tat 7, da sich hier das Vorzeichen von 3^n bzw. -3^n nicht ändert.

...zur Antwort