Falls du wirklich nur lineare Programme betrachtest (sprich: lineare Zielfunktion, lineare Nebenbedingungen), ist die Menge der Minima (bzw. auch die Menge der Maxima) konvex. Das heißt, wenn es mehrere verschiedene Optima (damit meine ich jeweils nur Minima oder nur Maxima, je nachdem, ob ihr minimiert oder maximiert) gibt, gibt es immer sofort unendlich viele. Einen allgemeinen leicht zu überprüfenden Test, wann es mehrere Lösungen gibt, gibt es meines Wissens nicht - spontan fällt mir aber die Möglichkeit ein, dass du zumindest, wenn du schon eine Lösung x kennst, prüfen kannst, ob Vektoren d mit c^T*d = 0 und x+ad zulässig für ein hinreichend kleines positives a existieren. Das ist genau dann der Fall, wenn es mehrere Lösungen gibt.

Weil Zahlentheorie ungefähr das einzige Gebiet ist, das Nichtmathematiker ungefähr verstehen können und diese dann mit Bewertungen wie "Disziplin XXX ist ja wohl definitiv die schwierigste in der Mathematik" so tun wollen, als hätten sie auch Ahnung vom Rest der Mathematik. Zahlentheorie ist zwar nicht unwichtig, aber relativ irrelevant und deswegen forscht da auch kaum jemand.

Wie andere Menschen hier schon gesagt haben: du weißt, dass jede Zahl multipliziert mit 0 gleich 0 ergibt. Mit anderen Worten: für jede Zahl a gilt 0*a = 0. Der Satz vom Nullprodukt sagt, dass die Umkehrrichtung eben auch gilt: Wenn a*b = 0 gilt, muss a = 0 oder b = 0 sein. Das überlegst du dir ganz einfach: nimm an, es gilt a*b = 0. Gilt a =/= 0, so kannst du beide Seiten durch a teilen, es folgt also b = 0/a = 0. Also ist in jedem Fall eine der beiden Variablen (oder beide) gleich 0.

Den Satz kannst du anwenden, um Nullstellen einer Funktion relativ leicht zu bestimmen. Die Funktion (x-3)(x+6) hat beispielsweise die Nullstellen 3 und -6, denn wenn (x-3)(x+6) = 0 gilt, muss mindestens einer der Faktoren x-3 und x+3 gleich 0 sein.

Ein zweites etwas weniger ersichtliches Beispiel ergibt sich durch x² = 1. Subtraktion ergibt x²-1 = 0 und mit der dritten binomischen Formel ergibt sich x²-1 = (x-1)(x+1) = 0. Jetzt kannst du auch hier den Satz vom Nullprodukt anwenden und erhältst die beiden Nullstellen x = -1 und x = 1. Da der Satz vom Nullprodukt eine Äquivalenz darstellt (a*b = 0 ist dann und nur dann 0, wenn wenigstens eine der Variablen a und b 0 ist), folgt hieraus sogar, dass -1 und 1 überhaupt die einzigen möglichen Lösungen der Gleichung x² = 1 sind.

Im Allgemeinen nennt man die Potenzreihe statt Polynom. Potenzreihen stellen Verallgemeinerungen von Polynomen dar. Viele Eigenschaften, die Polynome besitzen, gelten auch für Potenzreihen (zwei Potenzreihen, die in einem beliebigen nichttrivialen Intervall gleich sind, sind überall gleich), aber nicht alle (Potenzreihen müssen nicht auf ganz IR bzw. ganz C existieren).

Für Kommunikationszwecke sind wenige Sprachen immer besser.

Siehe die anderen Antworten und zusätzlich ist das auch eine Raidstrategie, in der man nur auf den Boss einschlägt und alle Mechaniken ignoriert, mit dem Ziel, den Boss schnell genug zu besiegen, bevor man von den ignorierten Mechaniken bestraft wird

I haven't klingt sehr geschwungen. Solltest du nicht verwenden. "I don't have" ist weitaus akzeptierter.

Symmetrie kriegst du leicht hin. Sagen wir, es gilt xRy, du willst dann yRx folgen. Da das irgendwie mit der Eigenschaft geschehen sollte, bleibt dir nichts anderes übrig, als c = y und b = x zu setzen. Dann gilt offenbar Dann müssen wir a noch so wählen, dass aRx und aRy gilt. Dafür bietet sich wieder a = x an, denn R ist reflexiv, d.h. es gilt xRx, und nach Voraussetzung gilt xRy. Dies zeigt also die Symmetrie der Relation.

Seien nun xRy und yRz gegeben. Daraus folgt dann auch yRx. Setzen wir a = y, b = x, c = z, so ist die Voraussetzung gegeben und es folgt xRz. Also ist R transitiv.

R muss nicht antisymmetrisch sein. Betrachte dazu die Menge X = IN und die Relation R = IN^2, d.h. alle Elemente stehen in Relation zueinander.

Ist n ungerade, so ist 2 kein Teiler von n. Ist n außerdem keine Quadratzahl, so ist für jeden Teiler m auch n/m ein Teiler, der von m verschieden ist (Beweis: Aus n/m = m würde n = m² folgen, also wäre n dann Quadratzahl). Untersuche jetzt mal für einen beliebigen Teiler m, wie n/m aussieht (Fallunterscheidung: Ist m gerade, so ist n/m ... und ist m ungerade, so ist n/m ...).

F ist eine Stammfunktion von f, wenn F' = f gilt. Man kann zeigen, dass F bis auf eine Konstante eindeutig definiert ist (Beweis: Sind F und G zwei Stammfunktionen von f, dann gilt (F-G)' = F'-G' = f-f = 0, d.h. F-G ist konstant). Man kann eine Stammfunktion auch als "Flächeninhaltsfunktion" definieren, d.h. F ist eine Stammfunktion von f, wenn F(x)-F(y) der Flächeninhalt unter dem Graphen von f zwischen x und y ist, der sogenannte Fundamentalsatz der Analysis besagt dann, dass diese beiden Definitionen gleichbedeutend sind. Ist F also eine Flächeninhaltsfunktion von f, so gilt F' = f und ist F andersrum eine Funktion, die F' = f erfüllt, so gibt F(x)-F(y) die Fläche unter dem Graphen von f zwischen x und y an.

f hat eine Stammfunktion F, wenn f stetig ist. Es gibt auch eine ganze Menge unstetige Funktionen, die trotzdem eine Stammfunktion haben, aber Stetigkeit ist das einfachste Kriterium für die Existenz einer Stammfunktion.

Für reelle x ist das schwierig. In der Regel beweist man das für natürliche und dann für ganze, rationale und reelle Zahlen.

Alles mit Periode 9 am Ende lässt sich darstellen, indem man die Neunen komplett entfernt und die letzte Ziffer davor um 1 erhöht. Aus 0,999... wird so 1.

Finest heißt einfach "Feinste" und steht eher aus Marketinggründen da.

Collection ist eine Ansammlung von Sachen, Selection eine Auswahl aus einer größeren Menge von Sachen.

Man gibt keiner Familie die Wohnung und vermietet für 40 bzw. 60 Euro pro Quadratmeter.

Das ist eine binomialverteilte Funktion, d.h. die Wahrscheinlichkeit beträgt Binom(10,0.03)(4); daher auch die Bezeichnung in deinem Taschenrechner. Die Idee ist, dass du genau 10 über 4 Möglichkeiten hast, vier Schrauben aus 10 Schrauben auszuwählen und für jede dieser Möglichkeiten hast du eine Chance von 0,03^4, mindestens vier Ausschussstücke zu bekommen, und eine Chance von (1-0,03)^6 = 0,97^6, mindestens sechs Ausschussstücke nicht zu bekommen, d.h. genau vier Ausschussstücke zu bekommen. Alles multipliziert ergibt das binom(10,4)*0,03^4*0,97^6, wobei binom(10,4) = 10!/(4!(10-4)!) = 10!(4!6!) gilt. Die Wahrscheinlichkeit ist also ziemlich niedrig, nämlich 0.014%.

Das ist ein Standardtrick bei derartigen Beweisen. Du nimmst an, es existiert ein epsilon > 0, sodass es für alle delta > 0 ein y gibt, sodass zwar |x-y| < delta, aber |f(x)-f(y)| >= epsilon gilt. Für delta setzt du jetzt gezielt 1/k für natürliche k ein. Dann gibt es also zu jedem 1/k ein y_k, sodass |x-y_k| < 1/k gilt, aber |f(x)-f(y_k)| >= epsilon. Dann konvergiert y_k gegen x, f(y_k) jedoch nicht gegen f(x).

Shall ist veraltet und wird nicht mehr wirklich verwendet.

Ja, sind ok. Bei (iii) -> (i) kannst du den typischen epsilon/2-Trick anwenden; ist t eine obere Schranke von A mit t < s, dann gilt t+epsilon/2=s für ein bestimmtes epsilon>0.

Im endlichen Fall ja, das findest du leicht mit einer Bijektion raus (nimm o.B.d.A. an, dass A = {1,...,|A|} und B = {1,...,|B|} gilt und überlege dir dann, wie eine Bijektion von AxB nach {1,...,|A||B|} aussehen könnte). Im unendlichen Fall fällt mir zumindest kein Gegenbeispiel ein, bzw. wenn du dich im unendlichen Fall mit unendlich als Mächtigkeit zufrieden gibst, lässt sich das auch einfach beweisen.

Das geht gefühlt alle paar Monate "viral" (so viral, dass es alle paar Jahre vom Focus gerepostet wird).