Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, dass zwei Zahlen gleich sind?

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Der mathematische Ausdruck für diese Frage ist:

https://de.m.wikipedia.org/wiki/Fast_sicher

In deinem Fall aber "Fast unmöglich". Ein schönes Beispiel ist die Wahrscheinlichkeit dafür eine bestimmte reelle Zahl von 0 bis 1 zu erraten. Die Wahrscheinlichkeit ist 0, aber es ist ja offensichtlich nicht unmöglich die richtige Zahl zu erraten.

Den Fall mit Wahrscheinlichkeit 0 und trotzdem der Möglichkeit, dass das Ereignis eintritt kannte ich nur von folgendem Szenario:

Ich werfe einen Pfeil auf eine Dartscheibe. Es gibt dort unendlich viele Punkte drauf, also ist die Whrscheinlichkeit, genau einen Punkt zu treffen gleich 0. Jetzt werfe ich und treffe einen Punkt. Nun frage ich mich: Wie konnte ich den treffen? Die Wahrscheinlichkeit ist doch 0.

Bisher habe ich mir das so erklärt: In der Theorie mag die Wahrscheinlichkeit 0 sein, aber in der Praxis ist es wegen physikalischen Gegebenheiten anders. Man kann nicht zwei beliebig dichte Punkte finden. Spätestens in der Größenordnung eines Elektrons gibt es endlich viele Punkte auf der Scheibe.

Nun habe ich mir das Beispiel mit den rationalen und irrationalen Zahlen bei Wikipedia angeschaut. Ich hab da noch nie so drüber nachgedacht, dass eine überabzählbare Menge unendlich größer ist als eine abzählbare. Es ist aber logisch, da die Vereinigung abzählabrer Mengen wieder abzählbar ist. Folglich bräuchte man nach meinem Verständnis unendlich viele abzählbare Mengen, um eine überabzählbare zu erzeugen.

Daher passt das durchaus, dass die Wahrscheinlichkeit, eine irrationale Zahl zu treffen 1 ist und eine rationale zu treffen 0 ist. Hier haben wir wieder keine Physik, sondern nur die Theorie. Mit einem Computer kann man nur rationale Zahlen erzeugen, da die Anzahl der Nachkommastellen begrenzt ist. Hätte man aber einen Theorie-Zufallsgenerator, dann hätte man dieses interessante Phänomen erzeugt.

Im übrigen wunder ich mich, dass alle so ganz selbstverständlich hier antworten. Hatte die Frage extra so laienhaft gestellt, dass eigentlich eine Nachfrage folgen müsste. 😁😎

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@ranger1111
Im übrigen wunder ich mich, dass alle so ganz selbstverständlich hier antworten. Hatte die Frage extra so laienhaft gestellt, dass eigentlich eine Nachfrage folgen müsste

Die Frage war natürlich mit viel Interpretationsraum gestellt. Aber mal abgesehen davon welche Zahlen, und wie viele davon, gemeint sind, finde ich die Frage verständlich gestellt.

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Gehen wir mal von den natürlichen Zahlen aus: 0,1,2,3,....

Es gibt unendlich viele natürliche Zahlen. So gesehen ist die Wahrscheinlichkeit theoretisch 0 zwei gleiche zu erwischen. Doch wird man meistens kleine Zahlen nehmen, dann ist die Wahrscheinlichkeit viel größer. Auch bei Zahlen die häufig genommen werden (ähnlich wie beim Lotto) ist die Wahrscheinlichkeit höher.

Nimm eine sehr große Primzahl (am besten eine neue größte) dann ist die Wahrscheinlichkeit für ein Duplikat praktisch 0.

Woher ich das weiß:Beruf – Studium der Informatik + Softwareentwickler seit 25 Jahren.

Die Wahrscheinlichkeit ist 0, allerdings bezweifle ich, dass es überhaupt möglich ist, in irgendeiner Konstellation eine komplett zufällige Zahl zu generieren (die nicht irgendwo beschränkt ist). Wenn du nur aus endlich vielen Zahlen auswählen kannst (was beispielsweise bei Computern der Fall ist), ist die Wahrscheinlichkeit, zwei gleiche Zahlen zu generieren, gerade 1/<Anzahl der Zahlen>.

Anmerkung: Die Wahrscheinlichkeit ist auch nicht "ungefähr 0" oder "unendlich nahe bei 0", sondern genau 0.

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allerdings bezweifle ich, dass es überhaupt möglich ist, in irgendeiner Konstellation eine komplett zufällige Zahl zu generieren (die nicht irgendwo beschränkt ist).

Hier hängt es schon an der Definition von zufällig. Da kann man sich lange den Kopf darüber zerbrechen, sich zu überlegen, ob die Zahl 813 wie ich sie jetzt in den Raum geworfen habe, zufällig "generiert" ist ;-)

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@Willibergi

Wir können uns natürlich die Frage stellen, wie zufällig definiert ist; in der Stochastik müssen wir das sogar. Wenn wir von einer LaPlace-Verteilung ausgehen (d.h. alle Zahlen sind gleich wahrscheinlich), stoßen wir bei den natürlichen Zahlen sehr schnell auf einen Widerspruch - keine einzige Zahl könnte positive Wahrscheinlichkeit haben, denn dann hätten alle Zahlen die gleiche positive Wahrscheinlichkeit c und die Reihe über c entspricht unendlich - addiert müsste aber 1 rauskommen. Die Wahrscheinlichkeit kann auch nicht 0 sein, denn die Reihe über 0 ergibt 0. Das deckt sich mit meiner Vermutung, dass es auch in der realen Welt keine Möglichkeit gibt, eine x-beliebige von unendlich vielen Zahlen mit gleicher Wahrscheinlichkeit zu generieren (da müssten wir die mathematischen Methoden, die uns zur Verfügung stehen, noch deutlich ausweiten).

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@Luksior

Mit anderen Verteilungen spricht natürlich nichts dagegen. Ich würde einfach mal eine näherungsweise Poisson-Verteilung für das Ereignis "Nenne eine zufällige natürliche Zahl" postulieren.

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@Willibergi

In der Praxis gibt es keine Zufälle, weil alles dem Prinzip der Ursache und Wirkung unterliegt.

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@Luksior

Das ist mir schon bewusst. Ich wollte nur anmerken, dass "eine komplett zufällige Zahl" zu generieren einfach verständlich klingt, aber tatsächlich nicht so einfach zu interpretieren ist.

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@ranger1111

Das kann richtig sein, selbst in dem Fall hilft das Konzept von Wahrscheinlichkeit aber, um schwierige mathematische Theorien sehr stark zu vereinfachen - dafür nimmt man den Abstrich in Kauf, dass eine Aussage dann nicht mehr definitiv wahr oder falsch ist, sondern nur noch mit Wahrscheinlichkeit p wahr (also ganz unmathematisch ausgedrückt - natürlich ist eine einzelne entscheidbare Aussage immer mit Wahrscheinlichkeit 0 oder 1 wahr).

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Theoretisch eine unendlich kleine Wahrscheinlichkeit. Keine Ahnung ob man das so nennt.

Beeinflusst wirds dann meistens aber von einem Rahmen(Zahl zwischen 1 und 1000) oder von einem Ursprung der Zahlen(Testergebnisse).

Wenn Du Menschen nach einer Zahl fragst, wird sie meistens auch nicht all zu groß sein. Dadurch wird das auch wieder beeinflusst.

Genau, und auch die fragt man einen Menschen nenne mir eine Zahl zwischen 1 und 3, sagt fast jeder 2. Dabei ist gar nicht klar, ob es sich um ein offenes oder geschlossenes Intervall handelt. Auerdem sagt fast niemand "Nenne mir eine natürliche Zahl zwischen 1 und 3". Wenn ich sowas gefragt werde, sage ich meistens sowas wie 1,73. Oder e.

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Irgendwo zwischen "infinitesimal größer als 0" und "infinitesimal kleiner als 1"...

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