Beweisen- Produktmenge?
Hallo, kann man dies mit logischen Äquivalenzen beweisen/zeigen?
Danke.
2 Antworten
a)
verwende die Definition:
AxB := {(x,y) | x∈A ∧ y∈B}
(x,y)∈Ax(BuC) <=>* x∈A ∧ y∈(BuC) <=> x∈A ∧ (y∈B ∨ y∈C) <=>** (x∈A ∧ y∈B) ∨ (x∈A ∧ y∈C) <=>* (x,y)∈(AxB) ∨ (x,y)∈(AxC) <=> (x,y)∈((AxB) u (AxC))
*.......gemäß Definition
**......gemäß Distributivgesetz
b)......
c)......
Das ist nicht das Kreuzprodukt, sondern das karthesische Produkt.
Die Gleichheit zweier Mengen zeigt man am besten, indem man zeigt, dass jedes Element der linken Menge auch in der rechten Menge ist und umgekehrt.
Nimm an, dass x ein beliebiges Element aus der rechten Menge ist. Folgere daraus, dass dieses Element in der anderen Menge sein muss.
Beispiel (a)
sei (x,y) aus der linken Menge. Somit muss x in A liegen und y in B vereinigt C, also in B oder in B. Wenn y in B ist, dann ist (x,y) auch in AxB, wenn y in C ist, dann ist (x,y) in AxC. Also muss (x,y) in AxB vereinigt AxB sein.
Analog läuft es ab, wenn du annimmst, dass (x,y) in der rechten Menge ist, und dann zeigst dass es auch in der linken ist.
Und da (x,y) beliebig war, gilt das für alle Elemente der jeweiligen Menge, also sind die Mengen gleich.
Wie zeige ich dies allgemein?