Welche Aussagen sind richtig?
a) Für eine lineare Abbildung L : V → W gilt, dass wenn L ein Isomorphismus ist und v1, . . . , vn eine Basis von V dann ist L(v1), . . . , L(vn) eine Basis von W.
b) Jeder Vektorraum ist eine abelsche Gruppe.
c) Falls v1, . . . , vn ∈ V eine Basis von V ist und w ∈ V ist, dann ist v1, . . . , vn, w eine Basis.
d)Es seien v1, . . . , vn ∈ V mit span{v1, . . . , vn} = V . Dann bilden v1, . . . , vn eine Basis von V genau dann, wenn r1v1 + . . . + rnvn = 0 eine Lösung hat mit r1, . . . , rn ∈ R.
e) Jedes lineare Gleichungssystem mit zwei Lösungen, hat mindestens auch 42 Lösungen.
f) Es seien B := {v1, . . . , vn} ⊆ V wobei V ein Vektorraum ist. Dann ist B eine Basis genau dann, wenn die Vektoren in B linear unabhängig sind.
g) Jede abelsche Gruppe ist ein Vektorraum.
h) Es gibt eine lineare Abbildung L : V → W, sodass dim(Bild(L)) > dim(W).
i) Der Kern einer linearen Abbildung ist ein Vektorraum. Es seien u, v ∈ V und V ein Vektorraum. Dann gilt dim(span{u, v}) = 2.
j) Es sei v1, . . . , vn ∈ V eine Basis von V und 0 6= w ∈ V . Dann existiert ein 1 ≤ j ≤ n, sodass v1, . . . , vj−1, w, vj+1, . . . vn eine Basis von V ist.
k) Eine linear Abbildung ist injektiv genau dann, wenn Ker(A) = {0}.
l) Es gibt lineare Gleichungssysteme mit genau drei Lösungen.
m) Es seien v1, . . . , vn ∈ V , sodass span{v1, v2, . . . , vn} = V . Für jedes u ∈ V existieren eindeutige x1, . . . , xn ∈ R mit u = x1v1 + . . . + xnvn genau dann, wenn v1, . . . , vn linear unabhängig sind.
Meine Lösung wäre: b) f) h) j) k) m)
Was meint ihr?