Ähnlichkeit von Matrizen und Endomorphismen?

1 Antwort

Roach5
31.01.2018, 03:08

Zur a): Ich weiß nicht ob du auf dem Schlauch stehst oder wo dein Problem hierbei ist, die Äquivalenzrelation ist gegeben auf der Menge End(V,V) der Endomorphismen auf V durch f ~ g <-> f und g sind ähnlich. Du musst also drei Sachen zeigen:

  1. f ist immer ähnlich zu sich selbst, für alle Endomorphismen f. Welche Basis solltest du hier nehmen, um die Aussage offensichtlich zu machen?
  2. Wenn f ähnlich zu g ist, dann ist g ähnlich zu f. Du hast also g = hfh^-1, dann kannst du aber auch schreiben: f = ...g..., also ist g zu f ähnlich.
  3. Wenn f ähnlich zu g ist und g ähnlich zu k (ich belasse mal h als den Buchstaben für den Isomorphismus zur Ähnlichkeit), dann ist f ähnlich zu k. Wenn du g = hfh^-1 und k = h'gh'^-1 hast, dann ist k = ...f..., hier musst du einfach nur einsetzen.

Die Definition von ähnlichen Matrizen ist dieselbe: Zwei Matrizen A und B heißen ähnlich, wenn es eine invertierbare Matrix H gibt, sodass B = HAH^-1. Du musst nurnoch zeigen, dass diese beiden Definitionen sozusagen äquivalent sind, wenn du eine Matrix mit ihrer induzierten Abbildung identifizierst. Ich mach dir einmal die Hin-richtung, damit du siehst, was getan werden muss:

Seien f und g ähnliche Endomorphismen, also es existiert ein Isomorphismus h, sodass g = hfh^-1. Dann gilt für jede Basis B: MB(g) = MB(hfh^-1) = (Verknüpfung von Homomorphismen ist identisch mit Matrizenmultiplikation) MB(h)MB(f)MB(h^-1) = (Matrix des Inversen ist Inverses der Matrix des Homomorphismus) MB(h)MB(f)MB(h)^-1, also sind MB(f) und MB(g) ähnlich (denn: da h ein Isomorphismus ist, ist MB(h) invertierbar und du hast genau die Definition von Ähnlichkeit von Matrizen).

Die Rückrichtung ist wirklich komplett analog, du musst dir halt genau diese Identifikation: Homomorphismus ~~ Matrix, Verknüpfung ~~ Multiplikation, Inverse Abbildung ~~ Inverse Matrix zunutze machen.

LG