Was ist der Unterschied zwischen einer Matrix und einem Vektor?

3 Antworten

Hallo,

eine Matrix ist einfach ein rechteckiges Schema, in dem Werte oder Zahlen so aufgelistet sind, daß Du jede Zahl oder jeden Wert darin mit der Angabe von Zeilennummer und Spaltennummer eindeutig bezeichnen kannst.

Beispiel:

Matrix 

 1 2 a
-3 b 0
-1 2 3
 4 a 3+b

Diese Matrix besteht aus vier Zeilen und drei Spalten; es handelt sich also um eine 4x3 (4 mal 3)-Matrix

Bei jeder einzelnen Zeile oder Spalte handelt es sich um einen Vektor.

Ebenso, wie es bei Vektoren der Fall ist, gelten auch bei Matrizen besondere Rechenregeln. Wenn  Du z.B. zwei Matrizen addierst, kannst Du das nur komponentenweise tun.

So kannst Du den Wert aus der zweiten Zeile und der dritten Spalte der ersten Matrix (im Beispiel wäre das die 0) nur zum Wert aus der zweiten Zeile und dritten Spalte einer zweiten Matrix addieren.

Logischerweise funktioniert das nur, wenn beide Matrizen die gleiche Anzahl von Zeilen und Spalten haben.

Bei der Multiplikation zweier Matrizen reicht es, wenn die erste Matrix genauso viele Spalten hat, wie die zweite Matrix an Zeilen besitzt.

Die Produktmatrix der beiden hat dann so viele Zeilen wie die erste und so viele Spalten wie die zweite Matrix, die miteinander multipliziert werden.

Im Gegensatz zur Addition gilt bei der Multiplikation das Kommutativgesetz in der Regel nicht.

Wenn Du Matrizen mit einer Zahl oder einer anderen Konstante multiplizierst, kannst Du das tun, indem Du jeden einzelnen Wert darin mit dieser Konstanten multiplizierst.

Wenn Du die Beispielmatrix etwa mit 2 multiplizierst, bekommst Du folgende Matrix heraus:

 2  4  2a
-6 2b 0
 8 2a 6+2b

Mit Hilfe von Matrizen lassen sich Gleichungssysteme recht bequem lösen.

Du läßt einfach die Variablen weg und schreibst die jeweiligen Ergebnisse in die letzte Spalte.

Außerdem sorgst Du dafür, daß die Koeffizienten gleicher Variablen untereinander stehen.

So wird aus dem Gleichungssystem 

2x+3y+z=4
3x-y+4z=2
x+2y-2z=-1

die Matrix
2   3  1  4
3 -1   4  2
1   2 -2 -1,

die z.B. so gelöst werden kann (wenn sie lösbar ist), daß in der letzten Zeile zwei von den ersten drei Werten gleich 0 sind, so daß der dritte direkt bestimmt werden kann; in der zweiten Zeile ein Wert gleich Null, so daß nach Einsetzen des einen bekannten Wertes auch der zweite bestimmt werden kann.

Der dritten Wert wird mit Hilfe der ersten Zeile bestimmt, in dem die beiden bekannten in die Gleichung eingesetzt werden (Gauß-Verfahren).

Eine Matrix dient dazu, komplexe Zusammenhänge auf relativ einfache Art anschaulich zu machen und berechnen zu können,

Herzliche Grüße,

Willy

Ein Vektor hat entweder nur eine Spalte oder eine Zeile. Der Vektor ist ein Spezialfall einer Matrix, nämlich einer 1xn bzw nx1-Matrix


Sorry für die Rechtschreib- und Grammatikfehler.

Was sind Matrizen geometrisch?

Ich kann mir Vektoren vorstellen, aber bei Matrizen kann ich mir räumlich gar nichts vorstellen. Als ich jetzt etwas darüber nachgedacht habe, habe ich festgestellt, dass, wenn man eine Matrix A mit n Zeilen und m Spalten hat und einen Vektor mit n Zeilen multipliziert und das irgendeinen Vektor ergeben soll, mehrere Geraden. Esollte ja Folgendes 'rauskommen: Also mehrere Gleichungen: ax1+bx2+cx3+ .... Koeffizient*xn=die jeweiligen Einträge des Vektors. Die Koeffizienten wären ja demnach der Normalenvektor. Wäre froh, wenn mir das jemand erklären könnte. :) Danke im Voraus.

...zur Frage

Mathe Rechnenregeln für Matrizen und Vektoren?

w' ist ein Transponierter Vektor z. B. (1 2 3)

w ist ein "normaler Spalten" Vektor mit ( 1 2 3) "Spalte"

Z soll eine Varianz-Kovarianzmatrix sein, mit 3x3 d. h. 3 Zeilen und 3 Spalten

Also eine symetrische Matrix

Wir haben hier einen Lagrangeansatz gemacht. L = w' * Z * w... usw.

Jetzt haben wir zuerst nach w abgeleitet. Dann kam heraus

2 Zw .... 1. Wie kommt hier die 2 her?

Ich nehme einen transponierten Vektor mal eine Matrix mal einen Vektor und wenn ich diesen Ausdruck ableite nach w erhalte ich

2Zw

also 2 mal die Matrix mal den Vektor

Kann mir jemand erklären wie man darauf kommt?

2.. Andere Frage: w ist wieder ein Vektor Z weiterhin die Varianz-Kovarianzmatrix

1 steht für den 1 Vektor (in einer Spalte) (1 1 1)

Zw - lambda1 = 0 nach w auflösen

w = lambda(Z^(-1) * 1) Z^(-1) ist die Inverse der Varianz-Kovarianzmatrix

Wenn ich durch eine Matrix teile auf der linken Seite Zw = lambda1

dann muss ich die Varianz-Kovarianzmatrix * ihre Inverse Z^-1 nehmen?

Danke für eure Hilfe.

...zur Frage

Wo liegt der Unterschied zwischen Koalitionskriegen und Befreiungskrigen?

Worin liegt eigl. der Unterschied zwischen dem Begriff Koalitionskriege und Befreiungskriege???

...zur Frage

Was möchtest Du wissen?