Hallo,

Distributivgesetz anwenden:

ac+bc=c*(a+b).

Der gemeinsame Faktor wird herausgezogen und vor die Klammer gestellt, in der Klammer bleibt das, was nach dem Herausziehen des Faktors übrig ist.

Bei Deiner Aufgabe ist der gemeinsame Faktor der Term (n+1), der einmal mit n und einmal mit 2 verknüpft ist.

Du stellst ihn vor die Klammer und schreibst in die Klammer den Rest:

(n+1)*(n+2).

Herzliche Grüße,

Willy

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Hallo,

die Wahrscheinlichkeiten werden hier aufaddiert.

Die Wahrscheinlichkeit, daß niemand zu Hause ist, liegt bei 0,3. Die Wahrscheinlichkeit, daß niemand oder einer zu Hause ist, beträgt 0,6. Hier wurde also zu den bisherigen 0,3 noch einmal 0,3 addiert.

Die Wahrscheinlichkeit, daß in 0 bis vier Häusern jemand aufmacht, liegt dann natürlich bei 1, denn eins dieser Ereignisse muß ja eintreffen.

Um die Wahrscheinlichkeiten für x=i auszurechnen, mußt Du jeweils die Differenz aus zwei benachbarten Wahrscheinlichkeiten bilden.

P (x=0)=0,3, P (x=1)=0,3, dann geht es mit 0,2; 0,1 und 0,1 weiter.

Herzliche Grüße,

Willy

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Hallo,

die Gerade hat überall die Steigung 1,6.

Es muß also gelten fa'(x)=1,6.

Außerdem müssen die Gerade und die Funktion dort einen gemeinsamen Punkt besitzen.

Du setzt zunächst die Ableitung auf 1,6 und löst das nach x auf. So bekommst Du eine Bedingung dafür, wann die Funktionenschar eine Ableitung von 1,6 hat, nämlich immer dann, wenn gilt: x=5-0,8/a.

Diesen Wert für x setzt Du in die Gleichung der Funktionenschar und in die Geradengleichung ein und setzt beide gleich. Die so entstehende quadratische Gleichung, die nur noch von a abhängig ist, teilst Du zunächst durch die Zahl vor dem a² (hier also durch 16) und nimmst dann die pq-Formel.

Das ergibt zwei positive Lösungen für a, nämlich a=0,1 und a=0,4.

Aus der Gleichung x=5-0,8/a kannst Du die dazugehörigen Werte für x, nämlich x=-3 und x=3 bestimmen.

So bekommst Du zwei Lösungspaare, bei denen Funktionen aus der Schar die Gerade y=1,6x berühren, nämlich für a=0,1 und x=-3 sowie für a=0,4 und x=3.

Herzliche Grüße,

Willy

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Hallo,

das kannst Du gar nicht nachweisen, weil es falsch ist.

Die Ortskurve der Extrema lautet g(x)=x³/288 und nicht -x³/288.

Für die Extrema bildest Du die Ableitung der Funktion nach x:

(-1/144)*(3x²-6ax) und setzt sie gleich Null.

Das gibt einmal x=0 (alle Sattelpunkte der Funktionenschar für ungerade a liegen bei (0|0), desweiteren Extrema der Funktionen mit geradem a).

Für die zweiten Extremstellen teilst Du 3x²-6ax durch x, bekommst 3x-6a und setzt das gleich Null (die -1/144) davor spielen bei der Nullstellensuche keine Rolle.

3x=6a, also x=2a.

In Abhängigkeit von a liegen diese Extremstellen also da, wo x doppelt so groß wie a ist. Für a=2 etwa bei x=4, für a=-1 bei x=-2 usw.

Diese Werte für x kannst Du dann in die Ortskurve eingeben, um auf die y-Koordinate zu kommen.

Herzliche Grüße,

Willy

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Hallo,

niemandes Erbe, ob väterlich oder großväterlich, wurde von ihm oder auf seinen Befehl hin nicht angetastet.

Cicero macht noch einmal deutlich, daß vor der Gier des Verres nichts sicher war. Nichts war ihm heilig, auch nicht die Dinge, die von Generation zu Generation weitergegeben wurden.

Wenn man weiß, in welchen Ehren bei den Römern die Vorfahren standen, versteht man, daß so der Zorn der Zuhörer auf Verres noch gesteigert wurde.

Ein Mensch, der alles in den Staub tritt, was einem Römer heilig war.

Verres war Statthalter Roms auf Sizilien gewesen und hatte die Insel und ihre Bewohner völlig ausgeplündert. Die Einwohner Siziliens hatten Cicero, der nach Verres Statthalter gewesen war und der sein Amt nicht ausgenutzt hatte, gebeten, sie gegen Verres zu vertreten und dafür zu sorgen, daß er für seine Verbrechen auf Sizilien, die bis hin zum Mord gingen, bestraft würde.

Seine Reden gegen Verres sind erhalten geblieben. Verres hat den Prozeß verloren und wurde ins Exil geschickt. Im Jahre 43 v. Chr. wurde er ermordet.

Herzliche Grüße,

Willy

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Hallo,

n² steht doch unter der Wurzel.

Klammerst Du unter der Wurzel n² aus und holst das dann vor die Wurzel, wird n² zu n und kürzt sich gegen das n im Nenner weg.

Herzliche Grüße,

Willy

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Hallo,

17,75 % ist korrekt.

Es geht um den Gesamtanteil der defekten Displays, der findet sich in einem der Randfelder der Vierfeldertafel.

Dein Lehrer hat einfach die Anteile der defekten LCD-Displays (22 %) und der defekten TFT-Displays (5 %) addiert.

Das ist schon deswegen falsch, weil nicht berücksichtigt wurde, daß die Displays unterschiedliche Anteile an der Gesamtproduktion haben.

Du rechnest 0,75*0,22+0,25*0,05 und kommst auf 0,1775 oder 17,75 %.

Herzliche Grüße,

Willy

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Hallo,

zunächst berechnest Du alle Kombinationen der elf Buchstaben, also
11!/(3!*2!*2!)=1663200; das hast Du ja auch gemacht.

Nun ziehst Du davon alle ab, bei denen ein A an erster Stelle steht, was
10!/(2!*2!*2!) ergibt, denn der erste Buchstabe steht ja fest.

Dann noch einmal 10!/(3!*2!*2!) abziehen für alle Möglichkeiten mit einem Z hinten.

Da sowohl in der Gruppe mit dem A vorn automatisch alle dabei sind, die auch das Z hinten haben und in der Gruppe mit dem Z hinten alle, die auch das A vorn haben, hast Du die Kombinationen mit einem A vorn und einem Z hinten doppelt abgezogen. Daher mußt Du diese einmal addieren.

So kommst Du auf 11!/(3!*2!*2!)-10!/(2!*2!*2!)-10!/(3!*2!*2!)+9!/(2!*2!*2!).

Das ergibt die Lösung aus dem Buch.

Herzliche Grüße,

Willy

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Hallo,

weil es immer zwei Farben sein müssen.

3 über 2 ist die Anzahl der Möglichkeiten, aus drei Farben zwei auszuwählen.

Da die Sträuße immer aus zwei Farben bestehen müssen, kann man die 15 Tulpen auf 1+14; 2+13; 3+12 usw. bis 14+1 aufteilen, was insgesamt 14 Möglichkeiten ergibt.

Würde man mit 15 multiplizieren, wären auch einfarbige Sträuße dabei.

Herzliche Grüße,

Willy

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Hallo,

zeichne die Skizze ab und zeichne alle Maße ein, die bereits gegeben sind.

Dann überlege, welche Maße Dir noch fehlen.

Für das Trapez brauchst Du die Längen der beiden Parallelen und die Höhe, für das Drachenviereck die beiden Diagonalen, um die jeweiligen Flächen zu berechnen.

Aus den gegebenen Maßen kannst Du die fehlenden erschließen.

Herzliche Grüße,

Willy

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Hallo,

es hängt viel von der Aktivitas ab.

Ich war in einer farbentragenden, nichtschlagenden Verbindung. Im Gegensatz zu den Vorurteilen, die grassierten, traf ich auf eine bunte Mischung von Studenten aller Fachrichtungen mit einem breiten Spektrum politischer Ansichten, die sich trotz unterschiedlicher Charaktere tolerierten und eine harmonische Gemeinschaft bildeten. Man kochte und aß gemeinsam - jeder trug etwas dazu bei, ohne daß nachgerechnet wurde, wer mehr oder wer weniger geben oder tun konnte. Studentische Traditionen wurden gepflegt, aber nicht über alles andere gestellt. Alles ging mit einem Augenzwinkern und in rheinischer Leichtigkeit vonstatten.

Niemand wurde zu etwas gezwungen, es gab keine Machtspielchen, auch nicht gegenüber Neulingen. Die Füxe wurden nicht wie Untergebene oder Diener behandelt, sondern von Gleich zu Gleich.

Ich bin schon seit Jahrzehnten Alter Herr resp. Philister und habe auch Generationen in meiner Verbindung erlebt, die die Traditionen bierernst nahmen und sich sehr konservativ gaben. Ein besonders peinliches Erlebnis war ein Landesvaterstechen in der Öffentlichkeit, das eine scharfe Rüge seitens des Philisteriums nach sich gezogen hatte und nicht mehr wiederholt wurde.

Ja, wir haben damals dem Alkohol reichlich zugesprochen - dazu hätten wir aber keine Verbindung gebraucht - doch so gut wie niemand hat sich danebenbenommen auch jenseits der Ein-Promille-Grenze und die meisten haben mit der Sauferei aufgehört und ihr Studium ordnungsgemäß abgeschlossen. Geblieben sind Erinnerungen an eine Freiheit, die heute kaum ein Student mehr erleben kann, an eine wunderbare generationenübergreifende Gemeinschaft, an Traditionen und Lieder, wie sie in der Feuerzangenbowle beschrieben sind (im Buch, nicht im Film).

Allerdings können die Strukturen, die eine Verbindung bietet, auch mißbraucht werden, wenn sie in falsche Hände geraten. Das ist bedauerlich und beschämend, aber kein Grund, Verbindungen in Bausch und Bogen zu verdammen.

Im 19. Jahrhundert waren Verbindungen übrigens Vorläufer der Demokratie und alles andere als rechts oder konservativ.

Herzliche Grüße,

Willy

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Hallo,

die Musterlösung stimmt.

Das Muster ist bei n Würfen (3^(n-1))/4^n.

Die Einzelergebnisse mit der jeweiligen Anzahl der Würfe multiplizieren und alles addieren.

Du bildest daher die Summe für k=1 bis k=6 über [(3^(k-1))/4^k]*k und kommst auf etwa 2,22 Würfe.

Ich habe noch etwas vergessen: Du mußt natürlich auch die Wahrscheinlichkeit berücksichtigen, daß auch nach dem sechsten Wurf kein Wappenpaar erscheint, also noch 6*(3/4)^6 addieren . So kommst Du auf einen Schnitt von 3,29. So ist am Ende auch die 972 im Zähler entstanden, nämlich 3^5+3^6.

Herzliche Grüße,

Willy

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Hallo,

da steht: Ermiittle, nicht berechne. Du kannst die Aufgabe also auch durch eine Konstruktion lösen.

Daraus ergibt sich für alpha ein Winkel von 30°.

Ich habe meine Antwort um die Konstruktionsskizze ergänzt, die ich ein wenig erweitert habe.

Zum einen habe ich um M einen Kreis mit Radius MB geschlagen und den anderen Schnittpunkt mit AB B* genannt.

Dann habe ich die Strecke MC über C hinaus erweitert.

Von A aus habe ich eine Parallele zu B*C gezogen und den Schnittpunkt mit der Verlängerung von MC S genannt.

Des weiteren habe ich durch B* eine Parallele zu AC gezogen und den Schnittpunkt
mit MC C* genannt.

Die Dreiecke MB*C und MAS sind ähnlich.

Da die Seiten MB* und MC gleich lang sind, sind wegen der Ähnlichkeit auch die Seiten MA und MS gleich lang.

Über den Rest muß ich noch nachdenken.

Heute morgen fiel mir die verblüffend einfache Lösung ein. Ich war ja so blöd gewesen:

Da wir es hier nur mit Winkeln und Längenverhältnissen zu tun haben, können wir MB=MC einfach gleich 1 setzen.

Dann kann man BC mit dem Kosinussatz berechnen, denn der Winkel bei M von 140° ist ja bekannt.

Der Winkel bei B ist 20° wegen der Gleichschenkligkeit des Dreiecks BMC.

Da AM=BC und MB=1, ist AB=BC+1 und BC ließ sich ja mit dem Kosinussatz berechnen.

Nochmalige Anwendung des Kosinussatzes mit AB, BC und dem eingeschlossenen Winkel bei B von 20° ergibt die Seite AC.

Nun kommt der Sinussatz an die Reihe. Der Sinus von alpha verhält sich zu BC wie der Sinus von 20° zu AC.

Aufgelöst nach Sinus (alpha) ergibt dies 0,5 mit dem Arkussinus (0,5)=30° für alpha.

Herzliche Grüße,

Willy

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Hallo,

die Lösungen sind korrekt.

Wenn etwa nur die Proben A und B positiv sind, bedeutet das, daß die Probe C negativ ist, was zu 100 %-90 %=10 % oder 0,1 wahrscheinlich ist.

Du rechnest also 0,92*0,95*0,1.

Bei AC rechnest Du entsprechend 0,92*0,9*0,05 und bei BC 0,95*0,9*0,08.

ABC ist dann 0,92*0,95*0,9.

Alles addieren ergibt die Wahrscheinlichkeit dafür, daß jemand positiv getestet wurde.

Für die zweite Aufgabe teilst Du die Summe der Wahrscheinlichkeiten der Proben, in denen C vorkam durch das Ergebnis der ersten Aufgabe.

Herzliche Grüße,

Willy

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Hallo,

Ziehen ohne Zurücklegen und ohne Beachtung der Reihenfolge.

Ist doch klar. Wenn einer zur Kontrolle ausgewählt wurde, wird er ja nicht noch einmal zur gleichen Kontrolle gewählt.

Es geht darum, drei von zehn auszuwählen, und da gibt es 10 über 3 gleich 120 Möglichkeiten.

Herzliche Grüße,

Willy

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Hallo,

in einem guten Wörterbuch wie dem Stowasser.

Da erfährst Du auch, daß es neben der Form transii auch die Perfektform transivi gibt.

https://www.amazon.de/Stowasser-Lateinisch-deutsches-Schulwörterbuch-Fritz-Losek/dp/3637015498/ref=sr_1_1?__mk_de_DE=ÅMÅŽÕÑ&crid=3STC6XGF96HZW&keywords=Stowasser&qid=1704999742&s=books&sprefix=stowasser%2Cstripbooks%2C103&sr=1-1

Herzliche Grüße,

Willy

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Hallo,

nachdem Troja eingenommen worden war, wollten wir die Insel Ithaka, unsere geliebte Heimat, ansteuern.

Wir wurden aber von widrigen Winden nach Sizilien verschlagen.

Von großem Hunger getrieben suchten die Gefährten überall auf der Insel vergebens nach Nahrung.

Da erspähten wir eine Höhle; wir gingen hinein und fanden dort eine Riesenmenge an Speisen.

Von großer Gier getrieben stärkten wir unsere Leiber mit Speisen; dann ruhten wir uns aus, weil wir von den Anstrengungen erschöpft waren.

Plötzlich wurden wir durch unglaubliches Gebrüll aufgeschreckt und sahen ein riesiges Ungeheuer die Höhle betreten.

Wir erkannten, das dieses Ungeheuer, das nur ein Auge besaß, der Zyklop Polyphem war.

Ich sah, wie er sich zwei Gefährten, die er sich ausgesucht hatte, schnappte, sie bestialisch umbrachte und sie dann verschlang.

Obwohl wir Polyphem immer wieder demütig anflehten, wurden mehrere meiner Freunde von ihm getötet.

Einige Gefährten aber konnten durch eine List des Odysseus gerettet auf das Schiff zurückkehren.

Herzliche Grüße,

Willy

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Hallo,

da entsteht doch eine dritte Wurzel. Ungerade Wurzeln funktionieren doch bei negativen Zahlen.

Herzliche Grüße,

Willy

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