Warum inverse stochastische Matrix mit negativen Einträgen?
Wir sollten zu einem Übergangsprozess die entsprechende Übergangsmatrix aufstellen, der Prozess ist ein stochastischer Prozess, sprich eine Markov-Kette, es geht hier um die jährliche Veränderung von Wählern dreier Parteien. Außerdem hat man eine Startverteilung (Vektor a) gegeben.
Man soll in der Aufgabe die Wählerverteilung vor einem Jahr angeben, unter der Annahme, dass der Wählerwechsel immer durch die Matrix M beschrieben wird.
Ich dachte, man macht das, indem man die inverse Matrix mit dem Vektor a multipliziert. Da kommen allerdings teilweise negative Werte raus. Auch die inverse Matrix hat negative Einträge. Warum kann man das mit anderen stochastischen Matrizen so rechnen und hier nicht? Bzw. was ist die Interpretation im Sachzusammenhang?
1 Antwort
Du hast alles richtig berechnet. Negative Werte in den Vektoren (H,A,D) sollten normalerweise nicht auftreten. Eventuell wurde ein Zustand {25,33,42} angenommen, der im Verlauf der Kette nie entsteht.
Negative Werte könnten z.B. dann auftreten, wenn der Vektor (H,A,D) nicht die absolute Verteilung der Wähler angibt, sondern die Wählerwanderung. Die ca. -3 für D würde dann bedeuten, dass die Partei D ca. 3% der Wähler verloren hat, und diese zu den anderen beiden Parteien gewandert sind.
Ob ein Zustand verwendet wird, der im Verlauf der Kette nie entstanden ist, kann man i.a. nicht beantworten. Das hängt davon ab, welcher Startvektor (das auch noch vor x Jahren) eingesetzt wurde. Dafür gibt es zuviele Möglichkeiten. Meine Annahme, es könnte sich um eine Wählerwanderung handeln, ist auch nicht schlüssig. Wie man leicht erkennt, kann es aufgrund der Austauschmatrix nie einen Zustand mit negativen Elementen geben - es sei denn man hätte diesen bewusst so definiert. Zustände in der Zukunft lassen sich natürlich bestimmen.
Danke für die Antwort! Wie kann ich denn wissen, ob ein Zustand verwendet wurde, der im Verlauf der Kette nie entsteht? Bzw. wie ermittle ich die Zustände der Kette oder etwaige Einschränkungen?