Diagonalmatrizen?
Hey,
Ich habe mal ein paar kurze Fragen zu Diagonalmatrizen.
1.)
Es gibt ja 2 verschiedene Wege um eine Diagonalmatrix D für eine Matrix M zu bestimmen. Man kann die Eigenwerte der Matrix M bestimmen und diese dann auf der Hauptdiagonalen von D eintragen, die restlichen Einträge von D sind dann 0.
Oder man kann durch die Eigenvektoren von M eine Matrix T bestimmen. Für diese gilt dann: D = T * M * T^-1.
Stimmt das so?
2.)
Wenn ich nun eine Diagonalmatrix habe, was bringt mir das? Ich habe in einem Video gehört, dass sich mit dieser Diagonalmatrix leichter rechnen lässt. Erzeugt die Diagonalmatrix dann das selbe Ergebnis, wie die Anfangsmatrix (Bei einem Matrix-Vektor-Produkt)? Oder wozu brauche ich diese Diagonalmatrix ansonsten?
2 Antworten
Es reicht nicht die Eigenwerte als Nullstellen des charakteristischen Polynoms zu bestimmen.
Beispielsweise haben die Matrizen
beide λ₁,₂ = 1 als Eigenwert. B ist aber nicht diagonalisierbar. In einem solchen Fall kann man statt einer Diagonalmatrix die Jordan-Normalform verwenden. Man muss also die Matrizen weiter untersuchen. Die Transformationsmatrix bestimmt man mit Hilfe der gefundenen Eigenwerte. In einer Diagonalmatrix kann man die Reihenfolge der Eigenwerte auch vertauschen. In der Anwendung interessiert man sich auch nicht nur für die Eigenwerte, sondern für die gesamte Darstellung M = T⁻¹ ⋅ D ⋅ T. Wenn man also M durch T⁻¹ ⋅ D ⋅ T ersetzt, bekommt man dasselbe Ergebnis.
Eine häufige Anwendung ist es eine Potenz Mⁿ zu berechnen. Dies geht einfach, weil sich in der Darstellung als (T⁻¹ ⋅ D ⋅ T)ⁿ jeweils T⁻¹ und T kürzen und übrig bleibt dann T⁻¹ ⋅ Dⁿ ⋅ T, was einfach zu berechnen ist, indem man die Einträge der Diagonalmatrix komponentenweise potenziert. Eine lineare Abbildung in einem endlich dimensionalen Raum lässt sich als Matrix darstellen. Im eindimensionalen Fall ist es leicht zu sehen, was passiert, wenn man eine solche Abbildung mehrmals hintereinander ausführt, nämlich, falls f(x) = a⋅x, dann wird die n-malige Hintereinanderausführung beschrieben durch x ↦ aⁿ⋅x. Im Mehrdimensionalen geht das nicht mehr so einfach, weshalb die Diagonalisierung nötig ist.
Es gibt einige Beispiele, was durch eine lineare Abbildung beschrieben werden kann. Beispielsweise kann man bestimmte Differenzen- und Differentialgleichungen so lösen oder man kann stochastische Prozesse untersuchen. Für die Betrachtung für n → ∞ ist insbesondere interessant, ob Eigenwerte betraglich größer oder kleiner als 1 sind, oder sich auf dem komplexen Einheitskreis befinden.
Da du den Tag "Diagonalisieren" da drin stehen hast, meinst du vermutlich die diagonalisierung von Matrizen (und nicht die Singulärwertzerlegung)
Es gibt ja 2 verschiedene Wege um eine Diagonalmatrix D für eine Matrix M zu bestimmen. Man kann die Eigenwerte der Matrix M bestimmen und diese dann auf der Hauptdiagonalen von D eintragen
Du musst jeden Eigenwert so oft eintragen, wie dessen Vielfachheit ist (vorausgesetzt, die Matrix ist Diagonalisierbar wenn die Matrix nicht Diagonalisierbar ist, existiert dann keine Diagonalmatrix)
die restlichen Einträge von D sind dann 0.
Nein.
Oder man kann durch die Eigenvektoren von M eine Matrix T bestimmen. Für diese gilt dann: D = T * M * T^-1.
Stimmt das so?
Für die Eigenvektoren brauchst du vorher die Eigenwertees läuft also auf das selbe hinaus.
Wenn ich nun eine Diagonalmatrix habe, was bringt mir das?
Zum einen kannst du Potenzen von Matrizen leichter bestimmen. Wenn du Zum Beispiel M=T^-1DT erhälst, wobei D eine Diagonalmatrix ist, dann ist M^n gleich T^-1*D^n*T (da T^-1 und T sich dann wegstreichen lassen) und Potenzen von Diagonalmatrizen lassen sich sehr einfach bestimmen.
Die Eigenwertzerlegung ist auch in der Statistik wichtig, da die zum Beispiel bei der Principal Component Analysis oder Multidimensional Scaling benutzt werden, um die Dimension der Daten zu reduzieren.