Mehrere Eigenvektoren zu einem Eigenwert?
Nehmen wir mal an, ich untersuche eine reelle 3x3 Matrix. Nun möchte ich den Eigenraum für einen Eigenwert berechnen und löse nach Gauß. Ich erhalte zwei Nullzeilen. Dann besteht meine lineare Hülle aus zwei Vektoren.
Nun meine Frage: Die zwei Vektoren, die ich als Lösung erhalte sind noch keine Eigenvektoren oder? Sie bilden nur in der Linearkombination einen Eigenvektor oder? Ich verstehe das noch nicht so ganz.
2 Antworten
Beide sowie sämtliche Linearkombinationen sind Eigenvektoren und bilden den Eigenraum. Am besten, du versuchst das zu beweisen, um es zu verinnerlichen.
Der Eigenraum zum Eigenwert λ wird von allen Vektoren v(i) aufgespannt, die das GLS (A + λ*E)*v(i) = 0 lösen. Gibt es mehrere Lösungen v(i), sind alle Linearkombinationen von v(i) ein Eigenvektor zum Eigenwert λ. Deshalb können auch manche v(i) mit Null skaliert werden, solange die Summe nicht dem Nullvektor entspricht. Somit sind auch die v(i) isoliert betrachtet Eigenvektoren zum Eigenwert λ.