Abstand AC vertikal 5K, horizontal 3K
Abstand CD vertikal 3K, horizontal 1K
Abstand DB vertikal 2K, horizontal 4K
Nach Pythagoras gilt dann für die Strecken AC, CD, DB:
AC² = 5² + 3², AC = √(34)
CD² = 3² + 1², CD = √(10)
DB² = 2² + 4², DB = √(20)
√(34) + √(10) + √(20) ~ 13.465 K
Die Einheit Kästchen in Meter umwandeln:
100*(√(34) + √(10) + √(20)) ~ 1346.54 Meter
Polynom dritten Grades: f(x) = ax³ + bx² + cx + d
Parabel h(x) = x² + 4x - 4
f(-1) = h(-1): -a + b - c + d = 1 - 4 - 4
f(2) = h(2): 8a + 4b + 2c + d = 4 + 8 - 4
f(5) = h(5): 125a + 25b + 5c + d = 25 + 20 - 4
Hochpunkt f'(1) = 0: 3a + 2b + c = 0
GLS:
-1 1 -1 1 | -7
8 4 2 1 | 8
125 25 5 1 | 41
3 2 1 0 | 0
Lösung: a = 1, b = -5 c = 7, d = 6
Falls es Probleme bei der Aufstellung der Vierfeldtafel gibt, ist zunächst folgendes bekannt:
| | V | !V | |
| A | 280 | | 400 |
| B | | 30 | |
| | | | 500 |
Nun kann man ergänzen:
| | V | !V | |
| A | 280 | 120 | 400 |
| B | | 30 | 100 |
| | | | 500 |
| | V | !V | |
| A | 280 | 120 | 400 |
| B | 70 | 30 | 100 |
| | 350 | 150 | 500 |
in relative Häufigkeiten umwandeln:
| | V | !V | |
| A | 0.56 | 0.24 | 0.8 |
| B | 0.14 | 0.06 | 0.2 |
| | 0.70 | 0.30 | 1 |
Stochastische Unabhängigkeit:
p(A ∩ V) = p(A) * p(V)
A: Hustensaft der Marke A
V: Verbesserung
Aus der Vierfeldtafel lässt sich folgendes ablesen:
p(A ∩ V) = 0.56
p(A) * p(V) = 0.8 * 0.7 = 0.56
A und V sind also stochastisch unabhängig. Erklärung: Hustensaft B wird zwar von weniger Kunden gekauft, der prozentuale Anteil mit Verbesserung ist aber genauso gross wie bei Hustensaft A.
Geht man von sin(x) = cos(x) aus, gibt es im Einheitskreis vier Lösungen. Diese liegen bei 45°, 135°, 225°, 315°.
Für alle diese Winkel gilt |sin(x)| = |cos(x)| = 1/√2
Die zugehörigen Vorzeichen von sin und cos sind:
45° (+,+), 135° (+,-), 225° (-,-), 315° (-,+)
Beschränkt man die obige Gleichung auf verschiedene Vorzeichen, bleiben nur noch die Lösungen 135° und 315° übrig.
Bei einer Bundestagswahl geht es nicht darum, dass eine Partei gewinnt, sondern verschiedene, möglichst kontroverse Parteien den Wählerwillen abbilden. Leider ist von dieser Vielfalt nichts mehr zu spüren. Stattdessen wandert alles in Richtung einer Einheitspartei und der daraus folgenden Planwirtschaft.
Mir ist keine Partei bekannt, die ohne "Parlamentsbrüller" auskommt.
f(x) = -(x+2)² + 2
Die erste Nullstelle liegt bei a = - 2 - sqrt(2)
Das Integral von f(x) über das Intervall [a,-2] ergibt ~ 1.88562
Ab x = -2 wird die Differenzfunktion f(x) - g(x) über dem Intervall [-2,-1] integriert.
Das ergibt 7/6, in Summe ~ 3.05229
Viele Beamte drehen doch den ganzen Tag Nullrunden - auf dem Flur.
f(x) = x² * e^(-ax)
Eine Extremstelle von f(x) liegt bei x = 2/a.
Nun berechnet man den Funktionswert von f(2/a), d.h. die "Höhe" des Extremwerts:
(I): f(2/a) = 4/a² * e^(-2)
Dieser Funktionswert ist von a abhängig. Nun sollen alle diese Extremwerte als Funktion g(x) dargestellt werden. Dazu ersetzt man das Funktionsargument 2/a durch x, d.h. x = 2/a und damit a = 2/x. Dann wird aus (I) die gesuchte Funktion:
g(x) = 4/(2/x)² * e^(-2) = x² * e^(-2)
Der Graph von g(x) stellt alle Extremwerte dar, die in Abhängigkeit von a auftreten können. Die Graphen von fa(x) und g(x) haben nur zwei gemeinsame Funktionswerte (Schnittpunkte), bei x = 0 und bei x = 2/a.
Das folgende Bild soll das nochmals verdeutlichen:
Grüne Kurve fa(x) mit a = 1. Ein Extrempunkt liegt bei x = 2/a = 2
Blaue Kurve fb(x) mit a = 1/2. Ein Extrempunkt liegt bei x = 2/0.5 = 4
Die rote Kurve g(x) ist für alle a konstant und entspricht bei x = 2 der Höhe des Extrempunkts von fa und bei x = 4 der Höhe des Extrempunkts von fb.
Am gegebenen Schnittpunkt könnte man dann auch die Variable a ablesen, z.B. bei x = 4 gilt a = 2/x = 1/2.
Im Fall eines Graphen f, der eine antiproportionale Zuordnung darstellt, gilt
x*f(x) = konstant.
Das ist bei a) nicht der Fall.
Bei b) muss man etwas genauer hinsehen, aber da gilt z.B.
1*f(1)= 1 * 4 = 4
2*f(2) = 2 * 3 = 6
ist also nicht konstant.
Die Methode politisch Andersdenkende (vor allem konservativ denkende) mit Nazibegriffen oder Nazisymbolen zu diffamieren, hat inzwischen einen ziemlich langen Bart.
Das offenbart letztlich das engstirnige Weltbild von Autoren derartiger Kampagnen und deren Unfähigkeit, sich mit dem Weltbild und der Meinung anderer rein argumentativ auseinandersetzen zu können.
Beim Aufstellen eines Kräftediagramms legt man für die Kräftevektoren einen Bezugspunkt fest. In der Aufgabe ist das der Aufhängepunkt am oberen Ende der Ampel.
Von diesem Punkt aus gesehen, verläuft FS1 in einem Winkel von 30° und FS2 von 60°.
In der Lösung ist ein dicker Fehler, denn FS2 geht mit negativem Vorzeichen ein, weil der Drehsinn von FS2 dem von FS1 entgegen gesetzt ist. Es muss also heissen:
0 = cos(30°)*FS1 - cos(60°)*FS2
Denn nur so erhält man die Beziehung:
FS1/FS2 = + cos(60°)/cos(30°)
In der Lösung befinden sich also zwei Vorzeichenfehler (Hochschule?).
Auf die Berücksichtigung des Vorzeichens kann man verzichten, wenn man den Drehsinn von FS2 auf den von FS1 bezieht. Geht man von FS1 im selben Drehsinn weiter, dann liegt FS2 beim Winkel 180°-60° = 120°
Dann könnte man folgenden Ansatz wählen:
0 = cos(30°)*FS1 + cos(120°)*FS2
bzw.
FS1/FS2 = - cos(120°)/cos(30°)
was mit
FS1/FS2 = cos(60°)/cos(30°)
identisch ist.
a)
Gerade AB: g(t) = (3,8,1) + t*(1,6,2)
Schnittpunkt g mit der Ebene E1: C = (1,-4,-3)
Schnittpunkt g mit der Ebene E2: B = (3,8,1)
Der Mittelpunkt der Kugel ist (B+C)/2 = (2,2,-1)
Der Abstand der beiden Ebenen beträgt 70/sqrt(5²+4²+3²) ~ 9.9
Der Kugelradius ist davon die Hälfte.
b)
Die Kugelgleichungen in der Frage sind unvollständig (das wären Zylinder), vermutlich gilt
K1: (x-3)² + y² + (z+2)² = 36
K2: (x+1)² + (y-4)² + z² = 36
M1=(3,0,-2) M2=(-1,4,0)
Sei A=(a,b,c) der Berührpunkt auf K1. Dann stehen die Vektoren M1-A = (3-a, -b, -2-c) und P-A = (-1-a, -b, 5-c) senkrecht aufeinander.
Ausserdem ist A Teil der Kugel K1. Das führt zu den zwei Gleichungen:
(3-a)(-1-a) + (-b)(-b) + (-2-c)(5-c) = 0
(a-3)² + b² + (c+2)² = 36
Lösung1: a=1, b=4, c=2
Lösung2: a=1, b=-4, c=2
Sei B=(d,e,f) der Berührpunkt auf K2. Dann stehen die Vektoren M2-B = (-1-d, 4-e, -f) und P-B = (-1-d, -e, 5-f) senkrecht aufeinander.
Ausserdem ist B Teil der Kugel K2. Das führt zu den zwei Gleichungen:
(-1-d)(-1-d) + (4-e)(-e) +(-f)(5-f) = 0
(d+1)² + (e-4)² + f² = 36
Lösung3: d=1, e = 0, f = 4
Lösung4: d=-3, e = 0, f = 4
Von den Lösungspaaren können nur eines richtig sein.
Lösung1: M1-A = 2,-4,-4
Lösung2: M1-A = 2,4,-4
Lösung3: M2-B = -2,4,-4
Lösung4: M2-B = 2,4,-4
Da M1-A und M2-B beide senkrecht auf der Ebene stehen, müssen sie linear abhängig sein. Das gilt nur für Lösung2 und Lösung 4.
Daraus folgt A=(1,-4,2) B=(-3,0,4)
Die Ebene PAB lautet: x+2y-2z=-11
Aufgabe a)
Die Fläche eines gleichseitigen Dreiecks der Seitenlänge a beträgt a²/4 * √3
Die Oberfläche der Verpackung mit der Höhe b beträgt:
(I) 2*a²/4 * √3 + 3*a*b
Das Volumen der Verpackung beträgt
(II) a²/4 * √3 * b
Das Volumen soll 400 betragen:
(II) a²/4 * √3 * b = 400
Daraus folgt:
b = 1600/(√3 * a²)
b in (I) einsetzen:
(I) 2*a²/4 * √3 + 3*a*1600/(√3 * a²)
(I) √3 * (a³+3200)/(2a)
Das soll minimal werden. Über die erste Ableitung ergibt sich ein Mimumim für
a = 4 * 5^(2/3)
Daraus folgt:
b = 4/3 * √3 * 5^(2/3)
Aufgabe b)
Die Frage macht keinen Sinn, weil nicht angegeben ist,
Was ist Krieg?
In meinen Augen ist Krieg, wenn gegnerische Machthaber ihren Hintern im Warmen halten und dabei Champus trinken, während Väter auf dem Schlachtfeld erzwungenermaßen ihr Leben lassen.
Ob ich da mitmache?
Nein, denn ich wäre dann einer dieser Väter.
Mit der Substitution u = ln(x+1) gilt du = 1/(x+1) dx
Damit lautet der Ausdruck ∫ f(u) du mit f(u) = u.
Die Stammfunktion von f lautet F(u) = u²/2.
Beim der Berechnung des bestimmten Integrals kann man die substitutierten Intervallgrenzen [u1,u2] = [ln(0+1), ln(1+1)] in F(u) einsetzen:
F(u2) - F(u1) = ln²(1+1)/2 - ln²(0+1)/2
oder man ersetzt das u in F(u):
F(x) = ln²(x+1)/2
und verwendet dann die Intervallgrenzen [x1,x2] = [0,1]
F(x2) - F(x1) = ln(1+1)²/2 - ln(0+1)²/2
Wer für die Todesstrafe plädiert, den würde ich verpflichten wollen die Rolle des Henkers voll verantwortlich zu übernehmen. Denn mit der Ausführung der Todesstrafe wird er dann selbst zum Mörder.
Für eine Dichtefunkion f(x) muss 0 <= f(x) <= 1 für alle x gelten, ausserdem muss das Integral über f(x) eins ergeben.
Im Fall von h sind beide Bedingungen nicht erfüllt, denn h nimmt auch negative Werte an und das Integral von h ergibt 0.
Aufgabe h)
Der Punkt S' lautet (0,0,-4)
Die Ebene E2 BCS' lautet -y+z = -4
Die Gerade AS lautet g(t) = (4,-4,0) + t*(-1,1,2)
Abstand eines Punktes P=(p1,p2,p3) zu einer Ebene E:
|n1*p1 + n2*p2 + n3*p3 - d| / Norm (n1,n2,n3)
Den Punkt P aus g(t) und E2 einsetzen:
|0 + -1*(-4 + t) + 1*(2t) + 4| / sqrt(2)
Das soll 11/sqrt(2) ergeben:
|0 + -1*(-4 + t) + 1*(2t) + 4| / sqrt(2) = 11/sqrt(2)
Lösung: t = 3 und t = -19
g(3) = (1,-1,6)
g(-19) = (23,-23,-38)
Gegen das Urteil eines Oberlandesgerichts kann in letzter Instanz nur noch der Bundesgerichtshof entscheiden.
Warum sich die Schwester gegen die Erbregelung wehrt, bleibt in der Fragestellung unklar. Vermutlich ging es bei den Höfrechten darum, dass zwei Männer einen Hof eher bewirtschaften können als eine Frau.
Trotzdem verstehe ich die Haltung der Schwester, denn ihr steht das gleiche zu wie den Männern. Der Schwester sollte kein Nachteil entstehen, nur wei ihr Geschlecht nicht zur Erbmasse passt.