a)

Die Strömungsgeschwindigkeit im unteren Teil des Rohres ist aufgrund des geringeren Querschnitts höher als in einem runden Rohr. Das hat den Vorteil, dass auch geringe Abwassermengen gut abfließen können.

b)

Einheit 1 = 10 cm

Oben: Halbkreis mit Radius 3. Der Mittelpunkt liegt auf der y-Achse. Weil das Rohr 9 Einheiten hoch ist, liegt der Mittelpunkt bei (0,6).

Unten : nach oben geöffnete Parabel mit einer "Höhe" von 6 Einheiten. Der untere Scheitelpunkt liegt bei (0,0). f(x) = a*x². Damit auf der Höhe y = 6 der Halbkreis berührt wird, muss gelten 

f(-3) = f(+3) = 6

Daraus folgt f(x) = 2/3*x²

Verwendet man das Modell, ist der Übergang nicht knickfrei. Die Tangente am Berührungspunkt am Halbkreis steht senkrecht. Die Tangente einer Parabel tut das nie. Man könnte es knickfrei hinbekommen, wenn man den Halbkreis ein Stück nach unten fortsetzt und die Parabel ein wenig spreizt. Das folgende Foto verdeutlicht dies. Aber danach ist nicht gefragt.

c)

Zur Bestimmung der Querschnittsfläche reicht die Betrachtung des positiven Anteils auf der x-Achse. Das Ergebnis am Ende wird dann verdoppelt.

Fläche Viertelkreis :

 r²*pi / 4 = 9/4 * pi

Fläche Parabel:

Differenzfunktion g(x) = 6 - f(x)



In Summe beträgt die Querschnittsfläche 2*(9/4 * pi + 12) ~ 38.14 

Das entspricht 0.3814 m². Bei einer Länge von 2 Metern entspricht das einem Volumen von 0.7268 m³

d)

Zur Bestimmung des Innenumfangs reicht die Betrachtung des positiven Anteils auf der x-Achse. Das Ergebnis am Ende wird dann verdoppelt.

Umfang Viertelkreis :

2*r*pi/4 = 3/2 * pi

Bogenlänge Parabel:



Das Integral ergibt ~ 6.97

In Summe beträgt der Innenumfang 2*(3/2 * pi + 6.97) ~ 23.3

Das entspricht 2.33 Meter. Bei einer Länge von 2 Metern entspricht das einer Fläche von 4.66 m²

e)

Das Volumen eines 2 Meter langen, runden Rohres beträgt r²*pi*2. Das soll dem obigen Volumen entsprechen:

r²*pi*2 = 0.7268

r ~ 34 cm

Fazit: ein rundes Rohr mit Radius 30 cm hat weniger Volumen als das ei-förmige. Allerdings ist das ei-förmige Rohr um 50% höher.

Strengere Vorschriften für Unternehmen zum Schutz der Umwelt sind nur dann sinnvoll, wenn sie global für alle Unternehmen gelten.

Es macht z.B. wenig Sinn, in Deutschland Kohlekraftwerke abzubauen, wenn China ständig neue baut.

Strengere Vorschriften nur für deutsche Unternehmen führen zu mehr Abwanderung der Industrie und damit zum Verlust von Arbeitsplätzen und Wohlstand. 

Je höher der Wohlstand einer Gesellschaft, desto höher ist übrigens das Umweltbewusstein. Der Weg, den die Politik in Deutschland und der EU bezüglich Umwelt und Klima eingeschlagen haben, wird deshalb genau zum Gegenteil der eigentlichen Ziele führen.

E1: x+2y+10z = 20

a)

Der Punkt A hat genauso wie der Punkt E die Koordinaten x=4 y=-2. Diese Koordinaten in die Ebenengleichung einsetzen ergibt z = 2. Daraus folgt A=(4, -2, 2)

Die Höhe der hinteren Hauswand entspricht dem Abstand AE = 5 LE

Vektor B-A = (4, 8, -2), Vektor B-C = (10, -5, 0). Das Skalarprodukt der beiden Vektoren ergibt Null, daher stehen die beiden aufeinander senkrecht.

b)

Ebene EFH: -2x + y - z = - 17

Normalenvektor der Ebene EFH: n1=(-2, 1, -1)

Normalenvektor der xy-Ebene: n2=(0, 0, 1)

Für den Winkel a zwischen den Vektoren n1 und n2 gilt:

cos(a) = |n1*n2|/(||n1|*||n2||) = 1/sqrt(6)

a ~ 65.91°

Ebene FGKH: x + 2y + 2z = 34

Normalenvektor der Ebene EFH: n1=(1, 2, 2)

Für den Winkel b zwischen den Vektoren n1 und n2 gilt:

cos(b) = |n1*n2|/(||n1|*||n2||) = 2/3

b ~ 48.19°

c)

Fläche des Dreiecks EFH:

Richtungsvektor HE = H-E = (0, 5, 5)

Richtungsvektor HF = H-F = (-4, -3, 5)

Das Kreuzprodukt der beiden Vektoren ergibt (40, -20, 20). Dessen halbe Länge entspricht der Fläche des Dreiecks EFH:

A1 = 1/2 * 20 * sqrt(6) ~ 24.4949

Fläche des Trapezes FGKH:

Das Trapez besteht aus den beiden Dreiecken HFK und FKG

Richtungsvektor HK = H-K = (6, -3, 0)

Richtungsvektor HF = H-F = (-4, -3, 5)

Das Kreuzprodukt der beiden Vektoren ergibt (15, -30, -30). Dessen halbe Länge entspricht der Fläche des Dreiecks HFK

A2 = 1/2 * 45

Richtungsvektor GK = G-K = (0, 5, -5)

Richtungsvektor GF = G-F = (-10, 5, 0)

Das Kreuzprodukt der beiden Vektoren ergibt (25, 50, 50). Dessen halbe Länge entspricht der Fläche des Dreiecks FKG

A3 = 1/2 * 75

Gesamtfläche des Daches:

2*A1 + 2*A2 + 2*A3 ~ 168.9898

d)

Die Aufgabe ist hier nicht klar. Es geht wohl nicht um den Abstand windschiefer Geraden, sondern um den Abstand der Seilbahn zum First entlang einer senkrechten Achse. Man sollte sich klar machen, dass das unterschiedliche Abstände sind.

Man legt eine zur z-Achse parallele Ebene durch den First. Diese Ebene besteht z.B. aus den Punkten H,K und H1=(4, 3, 0). H1 liegt senkrecht unter dem Punkt H.

Ebenengleichung H-K-H1: x + 2y = 10

Gerade PQ (Seilbahn): (5, -5, 22.5) + s*(-1, 3, -1)

Schnittpunkt zwischen Ebene und Seilbahn berechnen: S = (2, 4, 19.5)

Da der First auf der Höhe z = 12 liegt, beträgt der Abstand 19.5 - 12 = 7.5 Meter.

Für einfache Anwendungen ist ein WLAN-Interface sowohl hardware- als auch software-technisch viel zu aufwändig. Hier hat sich ZigBee bewährt:

https://de.wikipedia.org/wiki/ZigBee

Die partiellen Ableitungen sind korrekt. Um die stationären Punkte einer zweidimensionalen Funktion zu bestimmen, muss beide Ableitungen Null ergeben. Das ist für (29,-7) und (29,15) der Fall. Alles richtig.

Warum so kompliziert?

Maßstab 1:n (n > 1 ) entspricht einer Verkleinerung der Wirklichkeit. Maße mit der Länge x werden mit n multipliziert. 8.4 * 50 = 420 cm = 4.2 m

Maßstab n:1 (n > 1 ) entspricht einer Vergrößerung der Wirklichkeit. Maße mit der Länge x werden mit n dividiert. 5 / 20 = 0.25 cm = 2.5 mm

x/b = (x+a)/c

Nach x auflösen:

x = a*b/(c-b) 

x = 17*75/(100-75) = 51 m

17 Meter entsprechen 17 mm und 1,7 Meter 1,7 mm.

Weil das zeichnerisch nur ungenau darstellbar ist, würde ich den Standort S auf die x-Achse legen. Die Turmhöhe ist dann ~ 113.8 Meter. Darauf müssen dann noch 1,7 Meter addiert werden.

Wegen der Frage habe ich Herrn Schradin angerufen. Er meint: Der Mann hat sechs Söhne, eine Tochter, dazu kommen neun Diverse. Macht in Summe 16.

2a)

x - 3y - 2z = -8

Man sucht drei Lösungen der Gleichung, indem man zwei Koordinaten Null setzt:

y=z=0: A=(-8,0,0)

x=z=0: B=(0, 8/3, 0)

x=y=0: C=(0,0,4)

Die Parameterform lautet dann

A + r*(B-A) + s*(C-A)

(-8,0,0) + r*(8, 8/3, 0) + s*(8,0,4)

Achtung: es gibt viele Lösungen, die anders aussehen, aber immer dieselbe Ebene bestimmen. z.B. könnte man auch so lösen:

C + r*(A-C) + s*(B-C)

B + r*(A-B) + s*(C-B)

2b)

Die Schnittgerade zweier Ebenen zu erstellen, ist fast immer nur umständlich zu lösen. Ein Patentrezept gibt es nicht. Ich würde hier E3 in die Koordinatenform umwandeln. Der Normenvektor von E3 ist bereits gegeben und lautet (2,1,3). 

Der erste Ansatz lautet damit 2x + y + 3z = a

a ist das Skalarprodukt aus (2,1,3) und (3,3,1) a = 12

Nun hat man die beiden Gleichungen:

x - 3y - 2z = -8

2x + y + 3z = 12

x lässt sich eliminieren, indem man die erste Gleichung mit -2 multpliziert und die beiden Gleichungen addiert:

7y + 7z = 28

y + z = 4

Eine Lösung suchen, z.B. y = 1, z = 3

In die beiden Gleichungen einsetzen, das ergibt x = 1

Noch eine Lösung suchen, z.B. y = 2, z = 2

In die beiden Gleichungen einsetzen, das ergibt x = 2

Nun hat man zwei Punkte A=(1,1,3) und B=(2,2,2), welche die Schnittgerade bilden

A + r*(B-A)

3a) falsch, Schnittgerade hat unendlich viele Punkte

3b) falsch, eine Gerade kann eine Ebene auch schief schneiden.

3c) falsch, eine Ebene parallel zu z-Achse hat genau zwei Spurpunkte Sx und Sy, liegt aber nicht parallel zur x-y-Ebene 

3d) richtig

E1: 2x - y + z = 0

E2: (1,2,3) + s(-2,1,3) + k(4,-1,2)

E2 lässt sich als GLS schreiben:

x = 1 - 2s + 4k
y = 2 +  s -  k
z = 3 + 3s + 2k

x,y,z in E1 einsetzen:

2(1 - 2s + 4k) - (2 + s - k) + (3 + 3s + 2k) = 0

umformen:

11k -2s + 3 = 0

z.B. nach s auflösen:

s = 1/2*(11k+3)

s in das GLS für E2 einsetzen:

x = 1 - 2(1/2*(11k+3)) + 4k
y = 2 +  (1/2*(11k+3)) - k
z = 3 + 3(1/2*(11k+3)) + 2k

zusammenfassen, das ergibt die Schnittgerade:

x =  -2  - 7k
y =  7/2 + 9/2k
z = 15/2 + 37/2k

Richtungsvektor ganzzahlig skalieren (muss aber nicht sein):

x =  -2  - 14k
y = 7/2 +   9k
z = 15/2 + 37k

Eine alternative Methode geht so:

Man sucht zwei Lösungen der Gleichung 11k -2s + 3 = 0

k = 1, s = 7

k = 3, s = 18

Die beiden Lösungen setzt man in das obige GLS für E2 ein:

(x1,y1,z1) = (-9,8,26)

(x2, y2, z2) = (-23, 17, 63)

Die beiden Punkte bilden die Schnittgerade

(-9,8,26) + r*(-14, 9,37)

Die beiden so ermittelten Schnittgeraden sind identisch, lediglich die Ortspunkte sind verschieden.

Die Beschreibung passt besser auf die Grünen.

g(r) = (1,2,0) + r* (-1, -1, 1)

a)

Schnittpunkt mit der x-Ebene : x-Koordinate muss Null werden,

das ist für r = 1 der Fall, S23 = g(1) = (0,1,1)

Schnittpunkt mit der y-Ebene : y-Koordinate muss Null werden,

das ist für r = 2 der Fall, S13 = g(2) = (-1,0,2)

Schnittpunkt mit der z-Ebene : z-Koordinate muss Null werden,

das ist für r = 0 der Fall, S12 = g(0) = (1,2,0)

Beim Einzeichnen liegen diese Punkte einfach auf der Geraden g(r).

b)

Das Dreieck wird durch die Punkte O=(0,0,0), S13 und S23 gebildet.

Das Kreuzprodukt aus den Richtungsvektoren O-S13 = (-1,0,2) und O-S23 = (0,1,1) ergibt √6. 

Die Fläche des Dreiecks beträgt somit 1/2 * √6

Bei der Funktion sin(x) kann man Argumente mit der Einheit Bogenmaß oder der Einheit Winkel einsetzen.

Also z.B. sin(1.3) oder sin(25°)

Aus dem Zusammenhang sollte hervorgehen, welche Einheit gemeint ist, denn sin(25) != sin(25°). Steht da z.B sin(π) oder sin(π/2) geht man vom Bogenmaß aus, weil Winkel üblicherweise nicht mit dem Faktor π dargestellt werden.

Am Einheitskreis kann man sich folgende Werte veranschaulichen

sin(0°) = 0

sin(90°) = 1

sin(180°) = 0

sin(270°) = -1

sin(360°) = 0

Die Funktion sin() hat eine Periode von 360°, d.h. bei grösseren Winkeln beginnt das Karusell auf dem Einheitskreis aufs Neue. So gilt z.B.

sin(380°) = sin(360°+20°) = sin(20°)

Um die Einheit Winkel w in das Bogenmaß b umzurechnen, nutzt man die Formel

b = w * π/180

Um die Einheit Bogenmaß b in einen Winkel w umzurechnen, nutzt man die Formel

w = b * 180/π

Beispiel:

Das Bogenmaß b = 1/3 * π aus der Aufgabe in einen Winkel umrechnen:

1/3 * π * 180/π = 1/3 * 180 = 60

Daraus folgt sin(1/3 * π ) = sin(60°)

Der nachschüssige Rentenendwert mit Startkapital K0, dem Zins q und der Rate r beträgt nach n Perioden:



Bei bekanntem Endkapital K ergibt sich die Rate r aus :



Mit K = 10000, K0 = 4000, q = 1.0025 und n = 24 ergibt sich r ~ 232.88727

Wenn Greta Thunberg auf die Straße geht, um auf den Klimawandel aufmerksam zu machen, schütteln ihr die Politiker die Hände.

Wenn sie auf die unakzeptablen Zustände im Gazastreifen hinweisen will, wird sie als Antisemitin ins Abseits gestellt.

Finde den Fehler.

AC = C - A = (v-4, 3)

BC = C - B = (v-11, 4)

Die Vektoren stehen aufeinander senkrecht, wenn das Skalarprodukt Null ergibt:

AC*BC = (v-4)*(v-11) + 3*4 = v² - 15v + 56

v² - 15v + 56 = 0 ?

für v = 7 oder v = 8

Man muss die Breite, Höhe und Trittfestigkeit der Karriereleiter berechnen können.

Das ist kein Spaß, sondern bitterer Ernst. Inzwischen kommen nur noch solche Mitarbeiter noch oben, die korrekt gendern und Mathe mit Klimawandel, Nachhaltigkeit und Wokeness verknüpfen können. Echte Qualifikation spielt keine Rolle mehr.

Das Mittel lautet allgemein 



s = Summe der Zahlen, n = Anzahl der Zahlen

Zwei Zahlen x,y dazu nehmen, neues Mittel:



Beide Mittelwerte sollen gleich sein:



Löst man die Gleichung auf, kann man die Zahl x beliebig wählen und für y gilt



Will man nur positive x und y, dann muss gelten



1d)

Man nennt einen Vektor v=(x,y,z) Einheitsvektor, wenn der Betrag (die Länge) 1 ergibt. 

Länge |v| = √(x² + y² + z²)

Der Vektor AB lautet (-3,-3,-6)

Länge = √( 9 + 9 + 36) = √(54)

Damit die Länge 1 ergibt, wird der Vektor mit 1/√(54) skaliert.

Das Vorzeichen der Skalierung spielt keine Rolle. 1/√(6) * (-1,-1,-2) ist auch ein Einheitsvektor von AB.

9d)

Die Aufgabe/Lösung taucht in der Frage nicht auf.