Wie sehr sind mathematische Publikationen von dem Vorhaben inspiriert, Daten zu komprimieren?

Damit ist gemeint, Strukturen zu vereinfachen. Insbesondere im Kontext der Algebra.

Beispiel:

Es begann mit linearen Gleichungssystemen. Die Lösungsmethoden im klassischen Sinne sind unnötig anstrengend...

Wären da nicht Matrizen.

Wegen der Eigenschaft von Matrizen, Ringe zu formen und in Vektorräumen abzubilden vermöge Vektormultiplikation, als Darstellung v. Lineartransformationen, lassen sich LGS zu simplen Funktionsauswertungen/Faser-Bestimmungen zu gegebenem Vektor interpretieren.

Um den Schnickschnack noch mehr zu vereinfachen, kommt der Gauß-Algorithmus.

Oha! Der liefert ja, unter gewissen Voraussetzungen, dass eine Matrix in Zeilenstufenform gewandelt werden kann, mit Äquivalenzumformungen, über die man ja nun den Rang und die lineare Unabhängigkeit und die Dimension des Lösungsraumes bestimmen kann!

(Und nicht nur das. Wie kommt's denn wohl, dass gerade nur die geraden und ungeraden Permutationen als Linearkombinationen aller Einträge im untersten Diagonaleintrag stehen...)

Wie man sieht, war die neue Darstellung von LGS in der Lage, neue Informationen zu liefern, die viel mehr Rückschlüsse liefern.

Nun stellt sich die Frage: Lässt sich ernsthafte, sinnvolle Forschung betreiben, nur mit dem Vorhaben, Daten zu komprimieren durch Darstellungen und so noch mehr Resultate höherer Ordnung zu bekommen?

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Analysis dicht vs. Algebra dicht (Konstruierbare Zahlen)?

Hallo!

Ich habe letztens eine Klausur in Algebra geschrieben und da war eine Aufgabe, die mich etwas verwirrt hat...

Sei A{0,1} die Menge der aus 0,1 konstruierbaren Zahlen. Frage: Ist diese Menge dicht in den Komplexen Zahlen C?

Da ich keine Antwort hatte und trotzdem irgendwas schreiben wollte, habe ich einfach geschrieben: Ja, denn C ist der Algebraische Abschluss von den konstruierbaren Zahlen. (Ob meine Antwort oder ob meine Pseudobegründung richtig sind, weiß ich nicht.)

Als Kommentar des Korrigierenden kam: "keine Begründung, nur Umformulierung der zu zeigenden Aussage."

Was mich an der Aufgabe verwirrt ist, dass "dicht" doch ein Begriff aus der Analysis ist und man dafür einen Abstandsbegriff, also eine Metrik braucht. Was ist denn "dicht" in der Algebra...? Den Begriff hatten wir im Rahmen dieser Vorlesung nicht.

Was ich aus dem Kommentar schließe ist, dass ein Körper K dicht in einem Körper L ist, wenn L der algebraische Abschluss von K ist. Aber ist "dicht" überhaupt ein Begriff in dem Gebiet Algebra?
Oder meint ihr, dass der Fragesteller wirklich auf den Dichtheitsbegriff der Analysis hinaus wollte und, dass ich dann A{0,1} mit der Standartmetrik als metrischen Raum auffasse?

Definition von A{0,1} (A soll ein Zirkelsymbol sein):

Dazu sei gesagt, dass man die komplexe Zahlenebene betrachtet, also liegen 0 und 1 auf der Reellen Achse und wenn man dann z.B. einen Kreis mit Radius 1 und Mittelpunkt 0 zeichnet, so geht dieser durch 1, i, -1 und -1. Deswegen betrachtet man Teilmengen von C.

Danke und LG

Analysis dicht vs. Algebra dicht (Konstruierbare Zahlen)?
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Lot und Orthogonale Projektion eines Vektors zu einer Ebene berechenen?

Hallo liebe Community,

ich muss das Lot und die Orthogonale Projektion eines Vektors v = (3, 1, 4) zu einer Ebene mit den Spannvektoren (1, 3, -1) und (1, 1, -1) berechnen.

Ich muss ehrlich gestehen, dass ich nicht so wirklich weiß wie ich das berechnen soll. Ich habe in meinem Skript dazu ein paar Sachen gefunden:

Sei U Teilmenge R^n ein Untervektorraum und v Elemente R^n. Sind p,l Element R^n mit p Element U, l Element U^ (orthogonalzeichen), v=p + l. Dann ist p die orthogonale Projektion auf U und l = v-p das Lot von v auf U.

Das ist ja schonmal ganz gut, ich habe einfach gedacht, dass meine Ebene sozusagen U ist und mein p ist der gegebene Vektor v. Aber irgendwie hat, dass dann doch nicht so viel Sinn ergeben.

Meine erste Idee war ansich, einfach das Lot mittels Lotfußpunktverfahren zu berechnen, wie man es aus der Schule kennt. Also die Ebene auspannen, den gegeben Vektor als Punkt auffassen und dann kann man ja das Lot berechnen ansich, aber ich weiß nicht so wirklich ob das hier so gefordert ist und ob das überhaupt so richtig ist. Das gute an der Idee wäre glaube ich, dass ich bei dem Verfahren ja auch den Fußpunkt berechne und der müsste dann ja die orthogonale Projektion auf die Ebene sein.

Ich habe in einem anderen Skript auch noch eine weiter Gleichung gefunden um das Lot bzw. Orthogonale Projektion zu berechnen, aber da rechnet man nur mit zwei Vektoren und da ich ja eine Ebene habe weiß ich nicht so recht ob mir die Gleichungen da weiterhelfen.

Es würde mir wirklich sehr weiterhelfen wenn mir jemand erklären könnte wie ich das Lot und die Orthogonale Projektion berechne.

Ich wünsche euch einen schönen Abend :)

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