Vollständige Induktion, Peano Axiom?

Hey,

Ich habe eine Frage zum fünften peanoschen Axiom:

Ich bin mir nicht ganz sicher, ob ich richtig verstehe, was es aussagt:

Gehört 0 zu einer Teilermenge von X und in dieser Teilmenge n vorhanden ist, wobei auch sein Nachfolger vorhanden ist, dass ist X eine Teilmenge alle natürlichen Zahlen.

Zudem wollte ich fragen, wo man in den 5 Axiomen findet, dass natürliche Zahlen nicht beispielweise 3,4 sind. Liegt es daran, dass ein fester Nachfolger nur dann gefunden werden kann, wenn es sich um keine Kommazahlen handelt?

Dann was zur vollständigen Induktion:

Die vollständige Induktion lässt sich ja so zusammenfassen: Wenn es für alle natürlichen Zahlen gilt, dann auch für Ihre Nachfolger. Ich würde gerne verstehen, inwiefern der Induktionsstart N0 wichtig für den allgemeinen Sinn der vollständiger Induktion: Mit N0 grenzt man ja die Möglichkeiten ein, einen X Wert zu wählen (die Gleichung funktioniert erst ab N0). Inwiefern aber, ist das für den allgemeinen Gedanken (oben) wichtig?

Und wie versteht man genau den Zusammenhang zwischen fünften Axiom und Induktionsschritt: Ich zeige, dass es für die Nachfolger aller natürlichen Zahlen geht, da ich N0 gefunden habe, müsste es also auch für alle natürlichen Zahlen gehen? Ist irgendwie schwer, darüber zu schreiben.

Das fünfte Axiom schließt ja auch aus, die vollständige Induktion für beispielsweise rationale Zahlen zu verwenden, es gibt keinen Startwert und auch keinen Nachfolger. Nur was ich mich frage:

Wenn wir nehmen

x(2) =x mal x

und das soll nun für alle Zahlen gelten, könnte ich nicht sagen;

Wenn das für alle Werte x (rationale Zahlen) gelten würde, dann auch für alle rationalen Zahlen addiert mit einen beliebigen Wert

Wovon unterscheid sich dieser Gedankengang von der vollständigen Induktion?

Ich hoffe, man versteht, was ich erfahren möchte.

Ich danke für jede Antwort.

höhere Mathematik, Logik, Mathematiker, Beweis
vollständige Induktion (2)?

Hey,

Ich habe eine Frage zur vollständigen Induktion. Es ist ja so, dass man sagt, dass wenn eine bestimmte Gleichung durch alle Werte (natürliche Zahlen) erfüllt wird, dann auch für seinen Nachfolger. Das macht auch sehr viel Sinn. Jedoch habe ich auch öfters Ausdrücke wie n-1 gesehen. Theoretisch basiert das ja auf derselben Logik, trotzdem verstehe ich folgendes nicht: Es gibt ja (öfters vorgegeben) einer Art „Startwert“ für den eine spezifische Gleichung erfüllt ist. Müsste man diese Zahl bei der Bezeichnung N nicht ausscheiden, deren Vorgänger ist ja eine Zahl die die Voraussetzungen der Gleichungen nicht erfüllen.

Zudem:

Ich finde ich im Internet immer wieder, dass man sagt, ich finde einen Wert x für den die Gleichung gilt. Dann testen die, ob es für den Nachfolger gilt und schließen dabei, dass es also wirklich für den Nachfolger gilt (nehmen wir 1 und 2 als Beispiel) Und dann sagen die: wenn das also für 2 gilt, dann auch für den Nachfolger und den Nachfolger….

Also ja es ist richtig, aber ist das wirklich die Begründung? Müsste es nicht heißen, wenn es für alle gelten würde, dann auch für den Nachfolger einer beliebigen Zahl.

Also ich finde das irgendwie so schwer zu sagen, okay, dann muss das also auch für den Nachfolger gelten (also 3 etc). Die Voraussetzungen, beziehungsweise die Bedingungen, die man stellt, sind doch die Schlüssel zum Beweis, oder?

Ich meine, wenn man diese Behauptung nicht aufstellt, würde man ja sagen: Es geht für 1, ich teste aus, ob es für 2 geht, ok, wenn es für 2 geht auch für 3 4 und 5. 

höhere Mathematik, Mathematiker, Beweis
Vollständige Induktion 2?

Vollständige Induktion,

Hallo,

Ich habe mich wieder mit dem Prinzip der vollständigen Induktion befasst und habe folgenden Denkfehler: Am Anfang gibt es ja eine Behauptung, die man durch das Einsetzen einer Zahl beweist. Das bedeutet ja, dass man ab diesem Moment sagt, dass die Gleichung XY für eine bestimmte Variable (natürliche Zahl) gilt. Sagen wir Mal, die Voraussetzung ist, dass es beispielsweise für n 1 gilt. Dann setzt man für n, (n + 1) ein und beweist hiermit unter der Voraussetzung, dass die Gleichung für n=1 erfüllbar war, dass die Gleichung auch für den Nachfolger, also zwei erfüllbar ist.

Ab hier habe ich eine Frage: Üblicherweise hört man ja hier auf (die Annahme, dass es für alle natürlichen Zahlen gilt, ist bewiesen). Liegt es hierbei daran, dass wenn man zeigt (durch Umformungen etc), dass man n+1 auf der „anderen“ Seite rekonstruieren kann, dass auch n+2, also auch n+3 n+4 ..-…. rekonstruierbar ist? Oder wie versteht man das? Würde das also auch bedeuten, dass wenn ich (n-1) beweise, dass auch (n-2..) gilt?

Zudem: Verstehe ich das richtig, dass die vollständige Induktion also einer Art Beweissatz ist, der die „Gültigkeit“ einer Lösungsmenge darlegt?

Gibt es eine Möglichkeit nur mit der vollständigen Induktion zu beweisen, für welche Zahlenmengen eine Gleichung gilt (also ohne davor eine Voraussetzung zu haben, dass beispielsweise Gleichung XY für alle natürlichen Zahlen gilt)?

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Warum beweist Cantors Diagonalargument die nicht vorhandene Bijektion?

Georg Cantor hat bewiesen, dass die Menge der reellen Zahlen im Intervall [0;1] nicht bijektiv zur Menge aller natürlichen Zahlen ist. Dies tat er durch sein Diagonalargument. (Ich weiß grad nicht mehr, ob das erste oder zweite.)

Aaaaber ich verstehe nicht, warum keine Bijektion herrscht, nur weil die Liste nie vollständig ist. Denn lediglich das zeigt Cantors Argument.

Eine Liste von unendlichen Zahlen, ist ja sowieso niemals vollständig.

Nur weil bewiesen werden kann, dass die Liste nicht vollständig ist, heißt das nicht, dass es keine eineindeutige Zuordnung der Elemente geben kann. Oder etwa doch? Aber warum?!

Bei den geraden Zahlen geht das ja auch, obwohl man immer wieder eine neue Zahl erschaffen kann. (Die letzte +2)

Warum darf er überhaupt seine These auf unendlich lange Zahlen machen? Man kann doch nicht alles einfach in die Unendlichkeit übertragen. Sein Argument ergibt ja einigermaßen Sinn, aber doch nicht für unendlich lange Zahlen, die ja aber damit erschaffen werden!

Ich verstehe echt nicht den Zusammenhang zwischen einer immer unvollständigen Liste einer Menge und ihrer Bijektion und warum sein Argument für unendliche Längen überhaupt erlaubt ist.

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