Lebesque-Borel-Maß?

Hallo! Ich hatte in meinem Studium noch keine Maßtheorie aber da zur Zeit nicht viel zutun ist durch die Coronasituation, habe ich mir ein paar Video dazu angeschaut und mich im Internet ein wenig darüber informiert. Also. Das Maßproblem sagt es existiert kein Maß m auf der sigma-Algebra A, wenn A= P(R) [P(R) ist Potenzmenge von R^n (R sin die reellen Zahlen)]. Okay verstanden. Jetzt gibt es aber das Lebesgue-Borel-Maß auf der Borel-sigma-Algebra, welches Hyperrechtecke auf ihr Volumen abbildet. (Volumen, wenn n=3; Fläche, wenn n=2 und Länge, wenn n=1 und für n>3... naja wie man es halt nennen will) . Die Borel-Sigma-Algebra ist aber die von einer Topologie auf dem gegebenen Raum (hier R^n) erzeugte sigma-Algebra. Bedeutet in der Sigma-Algebra sind offene Mengen enthalten... Aber ein Rechteck, Quader oder Intervall oder allgemein eben ein hyperrechteck ist doch keine offene Teilmenge des R^n oder? Sei m das Lebesque-Borel-Maß auf der Borel-Sigma-Algebra auf R^n. Dann ist m folgendermaßen definiert:

m([a1,b1]X...X[an,bn])=(b1-a1)...(bn-an)

(müsste es nicht eigentlich allgemeiner m([a1,b1]X...X[an,bn])=||b1-a1||...||bn-an|| heißen? Denn ich kann ja auch verschiedene Metriken bzw. Normen auf R^n wählen?)

Wenn ich mir das hier eben nicht intuitiv anschaue, also nicht einfach sage ja ein Rechteck ist doch keine offene Teilmenge, sondern eher rechnerisch, sehe ich doch auch, dass ein hyperrechteck ein kartesisches Produkt aus abgeschlossenen Intervallen ist. Aber das Maß m ist doch ein Abbildung von der Sigma-Algebra auf das Intervall [0,inf] (inf ist unendlich). Aber wenn in der Sigma-Algebra nur offene Mengen sind.... hä?!

LG und Danke!

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