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Stimmt mein Beweis? Wenn ja, wie verbessern/erleichtern, wenn nein bitte Erklärung?

Guten Morgen!

Ich muss folgende Aufgabe lösen:

Eigentlich sehe ich auf den ersten Blick, dass dad wahr ist. Spätestens bei der Zeichnung weiß man es doch. Ist es wirklich immer notwendig, sowas "triviales" so zu beantworten?

Wie sieht meine Lösung aus?

I.) Nullstellen

f(x)=0=1/x|:x 0=1

-> f keine Nullstellen, da die Gleichumg nicht lösbar ist. Das heißt, sie befindet sich in unserem Intervall entweder im oberen ODER unteren Quadranten.

II.) Quadranten und Werte- & Definitionsbereich

Damit f im oberen rechten Quadranten verläuft, dürfen x & y nur positive Werte annehmen. X ist bereits positiv definiert. Damit y einen negativen Wert annehmen kann, müsste eine positive durch eine negative oder viceversa getauscht werden. f lässt sich in g & h aufteilen. f(x)=g(x)/h(x); mit g(x)=1 & h(x)=x. Da es sich bei 1 um eine positive Zahl handelt und x perse nur positive Werte annehmen kann, gilt: f(x)>0.

Da die x & y Werte in f stets positiv sind, verläuft die Funktion im oberen rechten Quadranten.

II.) Falls die Funktion keine Extrema zwischen [0;Inf] hat, wechselt sie ihr Vorzeichen in der Steigung nicht.

f(x)=(1/x)=x-¹ => f'(x)=(1/x²)=-x-² => f''(x)= -(2/x³) =-2x-³

f'(x)=0=-x‐²=(-1/x² )=> x≠0, da sonst Division durch 0.

Um x² aus dem Nenner zu holen, wäre die Operation -¹ erforderlich.

f(x) =0-¹=x² => Wieder die nicht definierte Division durch Null.

=> Keine Lösungen, keine Extrema

III). Monotonieverhalten betrachten

Damit lässt sich der Verlauf der Funktion bestimmen.

=> ist f im Wertebereich [0;Inf] streng monton fallend, sinkt der y-Wert mit steigendem x-Wert immer Weiter. Dafür muss gelten:

f'(x) im Intervall [0;Inf] < 0

f'(x)=-x-² =(-1)*x-² < 0

-1/(x²) für alle x€|R, [0->Inf] x-²=(-1/x²)<0

Aufgeteilt hat man im Zähler -1 und im Nenner x². f(x)=g(x)/h(x); g(x)=-1 & h(x)=x²

Für jedes x im Definitionsbereich muss also gelten, dass das Ergebnis von h(x)=x² positiv ist.

Also muss gelten: x²>0 -> x*x>0

0 & negative Zahlen für x sind hier nicht definiert.

1. Mit sich selbst multipliziert ergibt jede Zahl stets eine positives Ergebnis.

2. -1 geteilt durch jede positive Zahl ergibt eine negative Zahl. Es folgt:

=> f'(x)=-x-²<0

=> f(x) ist streng monton fallend

IV).Wenn ich damit argumentiere, dass x ab fortlaufend größeren Werten immer kleinere Werte für y annimmt:

f(1)=1/1=1

f(2)=1/2=0,5

f(10)=1/10=0,1

f(100)=1/100=0,01

f(10.000)=1/10.000=0,0001 usw.

...

[V.) Betrachtung der Zeichnung

Eigentlich offensichtlich]

Zusammenfassend, Wie gezeigt:

I. Keine Nullstelle, somit bleibt f im oberen rechten Quadranten, da jedem x Wert nur ein y Wert zugestimmt werden kann, und hier sowieso |R- nicht berücksichtigt wird.

II. Da f keine Extrema hat, das heißt das Vorzeichen der Steigung wechselt nicht.

=> f wird nimmt entweder fortlaufend immer größere oder kleinere Werte an.

III. Sind die Werte f's d im Defintiomsbereich streng monoton fallend. Das heißt, sie werden kleiner und kleiner.

IV. Sinken die Werte für f fortlaufend, aber niemals unter 0.

Zusammengesetzt: f befindet sich im ersten, oberen rechten Quadranten.

Damit gilt, wie gezeigt:

Lim x->0 [f(x)=1/x]- =f(Inf)= 1/Inf -> +Inf

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Funktion, Gleichungen, höhere Mathematik, Mathematiker, Beweis

Statik aufgabe hilfe?

Kann mir jemand bei der aufgabe helfen bitte

danke im voraus

Gegeben:

σₐ = 20,0 N/mm²

σ꜀ = 50,0 N/mm²

τᴮ = 80,0 N/mm²

Aus dem Dreieck (Grafik):

a = 4 Kästchen (x-Richtung)

b = 3 Kästchen (y-Richtung)

l = √(a² + b²) = √(4² + 3²) = √(16 + 9) = √25 = 5

a) Gesuchte Größen: τₐ, τ꜀, σᴮ

1. τₐ:

τₐ = (a · τᴮ + b · σᴮ) / l

τₐ = (4·80 + 3·80) / 5 = (320 + 240) / 5 = 560 / 5 = 112,00 N/mm²

2. τ꜀:

τ꜀ = (a · σₐ + b · τₐ) / l

τ꜀ = (4·20 + 3·112) / 5 = (80 + 336) / 5 = 416 / 5 = 83,20 N/mm²

3. σᴮ:

σᴮ = (−b · σₐ + a · τₐ) / l

σᴮ = (−3·20 + 4·112) / 5 = (−60 + 448) / 5 = 388 / 5 = 77,60 N/mm²

b) Hauptschubspannung τₘₐₓ und zugehörige Normalspannung σᴹ

1. τₘₐₓ:

τₘₐₓ = ½ · √[(σ꜀ − σₐ)² + 4 · τ꜀²]

τₘₐₓ = ½ · √[(50 − 20)² + 4·(83,2)²]

= ½ · √[900 + 4·6928,64]

= ½ · √[900 + 27714,56]

= ½ · √28614,56

= ½ · 169,06

= 84,53 N/mm²

2. σᴹ:

σᴹ = (σₐ + σ꜀) / 2 = (20 + 50) / 2 = 35,00 N/mm²

Ergebnisse:

Teil a)

τₐ = 112,00 N/mm²

τ꜀ = 83,20 N/mm²

σᴮ = 77,60 N/mm²

Teil b)

τₘₐₓ = 84,53 N/mm²

σᴹ = 35,00 N/mm²

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Ist das richtig gerechnet?

Moin,

Kann bitte jemand korrigieren ob ich das richtig ausgerechnet habe?

Hier der Rechenweg:

a) Funktionsgleichung von p1p_1

Gegeben: A(2|3), B(4|-1)

Ansatz: y=ax2+bx+cy = ax^2 + bx + c

1. Gleichung mit A:

3=a⋅22+b⋅2+c=4a+2b+c3 = a \cdot 2^2 + b \cdot 2 + c = 4a + 2b + c

2. Gleichung mit B:

−1=a⋅42+b⋅4+c=16a+4b+c-1 = a \cdot 4^2 + b \cdot 4 + c = 16a + 4b + c

Jetzt subtrahieren:

(16a+4b+c)−(4a+2b+c)=−1−3(16a + 4b + c) - (4a + 2b + c) = -1 - 3

12a+2b=−412a + 2b = -4

→ durch 2: 6a + b = -2 → (I)

Setze in 1. Gleichung ein:

3=4a+2(−2−6a)+c3 = 4a + 2(-2 - 6a) + c

3=4a−4−12a+c3 = 4a - 4 - 12a + c

3=−8a−4+c3 = -8a - 4 + c

c = 3 + 8a + 4 = 8a + 7

Nimm z. B. a = -1

Dann: b = -2 - 6(-1) = 4*, c = 8(-1) + 7 = -1*

Lösung:

p1(x)=−x2+4x−1p_1(x) = -x^2 + 4x - 1b) Funktionsgleichung von p2p_2

Scheitelpunkt: S(3|4), nach unten geöffnet

Ansatz: y=a(x−3)2+4y = a(x - 3)^2 + 4

Nimm z. B. a = -1 (weil nach unten)

Lösung:

p2(x)=−(x−3)2+4p_2(x) = -(x - 3)^2 + 4c) Nullstellen von p3(x)=x2+2x−3p_3(x) = x^2 + 2x - 3

pq-Formel:

x2+2x−3=0x^2 + 2x - 3 = 0 → p=2p = 2, q=−3q = -3

x1,2=−22±(22)2−(−3)=−1±1+3=−1±2x_{1,2} = -\frac{2}{2} \pm \sqrt{\left(\frac{2}{2}\right)^2 - (-3)} = -1 \pm \sqrt{1 + 3} = -1 \pm 2x1=1,x2=−3x_1 = 1,\quad x_2 = -3Lösung:

N1(1∣0),N2(−3∣0)N_1(1|0),\quad N_2(-3|0)d) Schnittpunkte von p3p_3 und p4p_4

p3(x)=x2+2x−3p_3(x) = x^2 + 2x - 3

p4(x)=−x2+2x+5p_4(x) = -x^2 + 2x + 5

Gleichsetzen:

x2+2x−3=−x2+2x+5x^2 + 2x - 3 = -x^2 + 2x + 5x2+x2=8⇒2x2=8⇒x2=4⇒x=±2x^2 + x^2 = 8 \Rightarrow 2x^2 = 8 \Rightarrow x^2 = 4 \Rightarrow x = ±2Einsetzen in p3p_3:

x=2:y=4+4−3=5x = 2: y = 4 + 4 - 3 = 5

x=−2:y=4−4−3=−3x = -2: y = 4 - 4 - 3 = -3

Lösung:

Schnittpunkte:(2∣5)und(−2∣−3)Schnittpunkte: (2|5) und (-2|-3)e) Scheitelpunkt von p3p_3

y=x2+2x−3y = x^2 + 2x - 3

In Scheitelpunktform umwandeln:

y=(x+1)2−1−3=(x+1)2−4y = (x + 1)^2 - 1 - 3 = (x + 1)^2 - 4Scheitelpunkt:

S(−1∣−4)S(-1|-4)f) Zeichnung von p3p_3
  • Scheitelpunkt: S(-1|-4)
  • Nullstellen: x = 1 und x = -3
  • y-Achsenabschnitt: x = 0 → y = -3
  • Symmetrieachse: x = -1
  • Weitere Punkte:
  • x = -2 → y = -3
  • x = 2 → y = 3
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Mathe - welche Variante gibt Punkt bei der Matura?

Gegeben ist folgendes Beispiel:

Der Wasserspiegel eines Sees und ein Haus liegen in einer Horizontalebene.

Von einem

h Meter über dem Boden befindlichen Fenster des Hauses erscheint das diesseitige Ufer des Sees unter dem Tiefenwinkel Alpha, das jenseitige Ufer unter dem Tiefenwinkel Beta.
Erstellen Sie mit x, a und ß eine Formel zur Berechnung der Breite b des Sees.

Der Ansatz laut Lösung:

In beiden gegebenen rechtwinkeligen Dreiecken h berechnen und anschließend gleichsetzen.

1

tan(alpha) = h/x

h = x • tan(alpha)

2

tan(beta) = h/x+b

h = (x+b) • tan(beta)

3

x • tan(alpha) = (x+b) • tan(beta)

x • tan(alpha) - x • tan(beta) = b • tan(beta)

b = x • tan(alpha) - tan(beta) / tan(beta)

Mein Ansatz wäre:

Zuerst x berechnen

tan(alpha) = h/x

x • tan(alpha) = h

x = h/tan(alpha)

x + b berechnen

tan(beta) = h/(x+b)

(x+b) • tan(beta) = h

(x+b) = h/tan(beta)

x von x+b abziehen um b zu erhalten

b = (x+b) - x

b = h/tan(beta) - h/tan(alpha)

Wenn man für alpha, beta und h Zahlen einsetzt erhält man in beiden Fällen dasselbe Ergebnis.

Da ich hier aber nur eine Formel zur Berechnung von b erstellen soll wäre meine Frage ob bei der Matura beide Varianten gleich bewertet werden oder ob nur die eine Variante aus den Lösungen als „richtig“ anerkannt wird und man nur dafür den/die Punkte erhält ?

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