Verteilungsfunktion?

Sei F: R^2 --> [0,1] eine Verteilungsfunktion s.d.

F((−x_1, y_2)) + F ((y_1, −x_2)) → 0 und F (x) → 1 fuer alle y_1, y_2 ∈ R und fuer

x = (x1, x2) → ∞ .

Definiere 𝛍((x_1,y_1] x ((x_2,y_2]) = F((y_1,y_2)) - F((y_1,x_2)) - F((x_1,y_2)) + F((x_1,x_2)) fuer x_1<= y_1, x_2<=y_2.

Kann man dann sagen 𝛍((-∞, y_1] x (-∞, y_2]) = F(y_1, y_2)?

Answer 1

[Rammstein53]

Der Mittelwert µ ist normalerweise anders definiert. Das sei an einer eindimensionalen Zufallsvariablen X erklärt, lässt sich aber leicht auf zweidimensionale Zufallsvariablen ausweiten.

Sei f(x) die Dichtefunktion der Zufallsvariablen X, dann gilt:

$P(X <= k) = F(k) = \int \limits_{-inf}^{k} f(x) dx$ $µ = \int \limits_{-inf}^{+inf} x * f(x) dx$

Beschränkt man den Mittelwert auf ein Intervall [a,b], dann gilt:

$µ[a,b] = \int \limits_{a}^{b} x * f(x) dx$ Die Stammfunktion von x*f(x) lautet jedoch nicht F(x), weshalb die Folgerung

$µ[a,b] = F(b) - F(a)$

falsch ist.

Diese Aussagen gelten ebenso für zweidimensionale Zufallsvariablen, man hat es dann mit einem Doppelintegral zu tun bzw. wird µ über einer definierten Fläche aufgespannt.

Wenn man allerdings den Begriff "Mittelwert" umdefiniert, wie in der Frage formuliert, dann ist die Folgerung schlüssig.

Answer 2

[Tommie140]

Kann man dann sagen 𝛍((-∞, y_1] x (-∞, y_2]) = F(y_1, y_2)?

Ich sehe nicht, warum das im allgemeinen gelten sollte.

Comments

[Petros259]

Das Problem ist, dass ich zeigen muss, dass F eine Verteilungsfunktion zu einem Wmass ist wenn folgendes gegeben ist:

(i) F monoton wachsend und rechtsstetig ist,

(ii) F ((−x1, y2)) + F ((y1, −x2)) → 0 und F (x) → 1 fuer alle y1, y2 ∈ R und fuer

x = (x1, x2) → ∞ gilt, und

(iii) F ((y1, y2)) − F ((y1, x2)) − F ((x1, y2)) + F ((x1, x2)) ≥ 0 fuer alle x1 ≤ y1

und x2 ≤ y2 gilt.