Zwei Richtungsableitungen null <=> Gradient null?
Ich habe eine Funktion f(x,y), die R^2 nach R abbildet. Ist die Aussage, dass für ein bestimmtes (x_1,y_1) zwei Richtungsableitungen null sind, äquivalent zu der Aussage, dass der Gradient an der selben Stelle (x_1,y_1) null ist?
3 Antworten
Das ist der Fall, wenn die Funktion total differenzierbar ist. Das bedeutet nämlich, dass eine lineare Abbildung A für jeden Punkt existiert, sodass die Richtungsableitung in Richtung v durch Av induziert ist (und dass sich dieses A natürlich stetig ändert, wenn du den Punkt in dem du differenzierst änderst). Hast du dann zwei linear-unabhängige Richtungen v1 und v2, dann kannst du jede andere Richtung schreiben als v = av1 + bv2 und dementsprechend wird die Richtungsableitung in Richtung v induziert durch Av = aAv1 + bAv2 = a * 0 + b * 0 = 0.
Ist die Funktion jedoch nicht total differenzierbar, dann hast du diese lineare Abbildung nicht mehr und du kannst deshalb die anderen Richtungsableitungen a priori nicht mehr aus deinen zwei "Basis"-ableitungen herleiten. Solch ein Gegenbeispiel hat BatesFan gegeben, die Richtungsableitung in x-Richtung und y-Richtung sind 0; da die Funktion nicht total differenzierbar ist, kannst du aber nicht auf die anderen Richtungen schließen, und tatsächlich - es existiert eine Richtungsableitung, die nicht 0 ist.
LG
Ohne weitere Voraussetzungen sind die Aussagen nicht aequivalent; selbst dann nicht, wenn die beiden Richtungen linear unabhaengig sind. Dazu ein Gegenbeispiel:
Der Gradient von f verschwindet im Ursprung. Die Richtungsableitungen von f in die Richtungen (1/2, ±√3/2) sind aber ±√3/8.
Ich denke "äquivalent" und "<=>" zeigen eindeutig, dass danach gefragt wurde, ob die Aussagen gleichwertig sind, d.h. ob beide Richtungen gelten. Allerdings liefert obiges Beispiel nach Basiswechsel automatisch auch ein Gegenbeispiel fuer die andere Richtung :)
Der ist dann G(0,0) also wäre "er ist Null" schon richtig.
Ich denke seine Aussage bezog sich nur auf die Richtung
"2 lin unabh. Richtungsableitungen gleich 0" -> "gradient gleich 0"
wobei du dich mit der gegenrichtung beschäftigt hast