Wenn Du wirklich etwas lernen willst, dann solltest Du Dir ueberlegen, wie Du es selbst herausfinden kannst - auch wenn Du es momentan nicht weisst.
Setze fuer a z.B. mal die Zahl 2 ein, also fuer x die Zahl 4. Pruefe, ob 3x^3/3 dieselbe Zahl ist wie 3a^5/3. Und?
Ich denke, dass fuer die Schule eine Erlaeuterung der Grenzwertbegriffe und ein paar elementare Beweise mehr als ausreichend sein sollten. Wesentliche Punkte zu Folgen koennten sein:
Wesentliche Punkte zu Reihen koennten sein:
Das Thema "Folgen und Reihen" in dieser Allgemeinheit ist fuer eine Hausarbeit in der Schule viel zu umfangreich und geht an sehr vielen Stellen ueber den Schulstoff hinaus. Du muesstest Dir eigenverantwortlich sehr viel Verstaendnis und Wissen erarbeiten, um obige Auflistung von Fragestellungen in einer Hausarbeit fachlich korrekt zu eroertern.
Ich wuerde Dir daher empfehlen, Dich mit Deinem Lehrer bzw. Deiner Lehrerin auf ein spezifischeres Teilgebiet zu einigen. Sollen die mathematisch sauberen Definitionen der zentrale Punkt sein? Sollen bestimmte Fragen aus der Anwendung bearbeitet werden? Wuerde es nicht auch reichen, nur ueber Folgen zu schreiben? Koennte man sich vielleicht nur auf die Definition der Exponentialfunktion beschraenken?
Ah, dann habe ich die Aufgabenstellung vorhin ja gar nicht so schlecht geraten:
https://www.gutefrage.net/frage/physik-stab-moment-haftzahl?foundIn=list-answers-by-user#answer-278020147
Anhand Deiner Skizze wuerde ich vermuten, dass am Angelpunkt links oben ein Drehmoment angreift, das ein Rad auf den Keil drueckt. Dieser Keil wird durch Haftreibung festgehalten. Die Frage ist jetzt, fuer welche Winkel und welche M der Keil liegen bleibt, oder? Schau Dir mal diese Skizze an:
Das Drehmoment M fuehrt zu einer Kraft F_M. Diese kannst Du in einen Teil F_N senkrecht zur Keiloberflaeche ("Normalkraft") und einen Teil F_H ("Hangabtriebskraft") parallel dazu zerlegen.
Die Kraft F_N drueckt den Keil auf den Boden und "will" ihn gleichzeitig nach rechts verschieben. Zerlege F_N also in eine "Verschiebe-Kraft" F_V und eine "Anpress-Kraft" F_A. Zu F_A kommt natuerlich noch die Gewichtskraft F_G, die auf den Keil aufgrund seiner eigenen Masse wirkt. Die Reibungskraft berechnest Du also ueber F_R = mu * (F_A + F_G).
Der Keil bleibt liegen, wenn F_R mindestens so gross ist wie F_V. Nun kannst Du untersuchen, fuer welche Werte von M und alpha diese Ungleichung erfuellt ist.
Du kannst eine aequidistante Zerlegung verwenden: Unterteile das Intervall [0, x] in N Teilintervalle I_k = [a_k, a_{k+1}), wobei a_k = k * x / N fuer k = 0, ..., N-1. Ich bezeichne f(t) = t^3 + 2(t^2+t) + 1. Auf dem Intervall I_k definierst Du nun die Treppenfunktion T_N(t) := f(a_k). Mache Dir dazu am besten eine Skizze.
Das Integral dieser Treppenfunktion waere nun:
int_0^x T_N(t) dt
= sum_{k=0}^{N-1} (a_{k+1} - a_k) * T_N(a_k)
= sum_{k=0}^{N-1} x/N * f(a_k)
= x/N sum_{k=0}^{N-1} f(k * x / N)
Jetzt setzt Du f ein und berechnest die Summe fuer ein allgemeines N (und allgemeines, festes x) - dafuer benoetigst Du natuerlich gewissen Summenformeln (vgl. https://de.wikipedia.org/wiki/Faulhabersche_Formel#Explizite_Darstellungen).
Nun hast Du die Berechnung eines Integrals auf die Berechnung einer (Riemann-)Summe zurueckgefuehrt. Schliesslich betrachtest Du den Grenzwert N->unendlich und argumentierst, dass dieser dem Integral entspricht.
Wenn Du Dich wirklich selbst herausfinden willst, ob sich Massen gegenseitig anziehen, kannst Du das Cavendish-Experiment nachbauen: https://de.wikipedia.org/wiki/Gravitationswaage
Sobald man sich von dieser Gesetzmaessigkeit ueberzeugt hat, kann man deren Konsequenzen berechnen. Du kannst ja z.B. mal die Zentrifugalkraft (https://de.wikipedia.org/wiki/Zentrifugalkraft) ausrechnen, die auf einen Menschen am Aequator wirkt: Dort legt man pro Tag etwa 40075km auf einer Kreisbahn mit Radius 6370km zurueck. Das ergibt eine Bahngeschwindigkeit von
2*pi*6370km / 24h = 1668km/h.
Das erscheint schnell, aber dafuer ist der Kreis auch recht gross... Die Zentrifugalkraft betraegt fuer einen Mann mit 80kg Masse also
80kg * (1668km/h)^2 / (6370km) = 2,7 N
Dies ist eine recht kleine Kraft. In der Tat kann man messen, dass die effektive Erdanziehung am Aequator aufgrund der Erdrotation (und weiterer kleiner Effekte) schwaecher ist als an den Polen (vgl. auch https://de.wikipedia.org/wiki/Schwerefeld#Erdschwerefeld_an_der_Erdoberfl%C3%A4che).
Die im Video aufgeworfenen Fragen und die daraus abgeleiteten Vermutungen/Behauptungen sind alle sehr oberflaechlich und lassen sich aehnlich schnell widerlegen wie die Idee, dass man aufgrund der Erdrotation weggeschleudert werden muesste... Das Video spielt einfach damit, dass man sich astronomische Groessenordnungen nicht vorstellen kann, da man sie aus dem Alltag nicht kennt.
"Ein Auto mit einer Masse von 1.5t legt eine Strecke von 30km zurueck. Wie schnell ist es gefahren?"
Kannst Du diese Frage beantworten? Wuerde die Angabe der Rollreibungszahl von Reifen auf Asphalt helfen?
Hier wurde Dir die Formel ja mit Beispiel und allem Drumherum erklärt:
https://www.gutefrage.net/frage/gfs-logistisches-wachstum?foundIn=list-answers-by-user#answer-274746917
Anhand des Beispiels kannst Du ja erklären, was es mit der Formel auf sich hat oder zumindest wozu man sie verwenden kann... Ich würde an Deiner Stelle genau das sagen, was Dir selbst beim Verstehen am meisten geholfen hat.
Untersuche die Reihe mit dem Quotientenkriterium auf Konvergenz bzw. Divergenz. Du wirst herausfinden, dass die Reihe für |x|<1 konvergiert und für |x|>1 divergiert. Also muss der Konvergenzradius 1 sein.
Man muss streng zwischen Teilmenge (notiert durch "⊂") und Element einer Menge (notiert durch "∈") unterscheiden.
Eine Menge wird charakterisiert durch ihre Elemente. Wenn ein Objekt x in einer Menge M enthalten ist, dann schreibt man x∈M, ansonsten x∉M. Die Menge A:={1,2,3,∅} enthaelt vier Elemente - drei Zahlen und eine Menge. Es gilt ∅∈A.
Man sagt, dass eine Menge M Teilmenge einer anderen Menge N ist, wenn jedes Element von M auch ein Element von N ist. Beispielsweise gilt {1,2}⊂{1,2,3}. Ebenso waere ∅⊂{1,2,3}, denn rein logisch gesehen liegt jedes Element von ∅ in {1,2,3}. Dies versteht man vielleicht besser so: Es gibt kein Element in ∅, das nicht in {1,2,3} liegt!
Nach obiger Ueberlegung ist die leere Menge Teilmenge jeder Menge. Die leere Menge ist aber keineswegs ein Element jeder Menge, z.B. ist ∅∉{1,2,3}.
Fuer die Mengen A:={1,2,3,∅} und B:= {5,6,∅} gilt A∩B={∅}. Die leere Menge ist sowohl ein Element von A als auch ein Element von B. Also ist die Schnittmenge von A und B nicht leer (sondern hier eben eine Menge mit der leeren Menge als Element).
Die Wahrscheinlichkeiten aus der Tabelle ergeben in der Summe 1, d.h. die Tabelle enthaelt alle relevanten Informationen bereits. Der Erwartungswert ist definiert als:
E[X] = [erster Wert] * P([erster Wert]) + ... + [letzter Wert] * P([letzter Wert])
In Deinem Fall kann X vier verschiedene Werte annehmen, d.h. diese Summe besteht aus vier Summanden. Kannst Du E[X] damit selbst berechnen?
Die Standardabweichung ist die Wurzel aus der Varianz. Die Varianz der Zufallsvariable X ist der Erwartungswert der Zufallsvariable Y=(X - E[X])^2. Mache Dir also eine Tabelle fuer die moeglichen Werte von Y. Da X vier verschiedene Werte annehmen kann, gibt es natuerlich auch nur vier Moeglichkeiten fuer den Wert von Y.
Wenn Du die Tabelle fuer Y hast, kannst Du den Erwartungswert von Y berechnen (genauso wie den von X). Die Wurzel daraus ist die Standardabweichung von X.
Ohne Annahmen/Informationen ueber die Einkommensverteilung kann man hier nichts machen. Hier ein vereinfachtes Beispiel, an dem man das erkennen kann:
Von vier Leuten haben die 50% aermsten einen kumulierten Anteil von 40% am Gesamteinkommen. Diese Feststellung waere kompatibel mit den Einkommen (1, 3, 3, 3), aber auch mit (2, 2, 3, 3). Man kann also nicht ausrechnen, wie gross der kumulierte Anteil der aermsten 25% ist (im ersten Fall waere er 10%, im zweiten Fall 20%).
Es hilft sicherlich, wenn Du Dir genau ueberlegst, was Du mit "Symmetrie" eigentlich meinst. Ich nehme an, dass Du allgemein Funktionen R->R betrachtest, d.h. man kann eine Zahl einsetzen und es kommt wieder eine Zahl heraus. Der Begriff "Symmetrie" bezieht sich meistens auf den Graphen so einer Funktion, d.h. auf das (unendlich grosse) "Bild" das herauskaeme, wenn man das Schaubild komplett zeichnen wuerde.
Definitionen und Beispiele: Man kann Symmetrieeigenschaften einer Funktion (bzw. genauer die des Graphen) mithilfe von Gleichungen ausdruecken. Haeufig betrachtete Symmetrien waeren:
Symmetrien der konstanten Funktionen: Damit kannst Du Dir nun ueberlegen, welche Symmetrie die konstanten Funktionen f(x)=c besitzen (rechne selbst nach):
Ausserdem ist die konstante Funktion f(x)=0 die einzige Funktion, die sowohl punktsymmetrisch zum Ursprung als auch achsensymmetrisch zur y-Achse ist, denn fuer so eine Funktion gilt ja f(x) = -f(-x) = -f(x), also muss f(x) = 0 sein.
Ausmultiplizieren wuerde ich Dir absolut nicht empfehlen. Hier waere es zwar noch moeglich, aber dauert sehr lange. Je hoeher die Hochzahl, desto arbeitsintensiver und fehleranfaelliger waere diese Vorgehensweise!
Besser ist folgender Trick: Naiv lautet die Stammfunktion von [irgendwas]^3 ja einfach 1/4 [irgendwas]^4. Dein [irgendwas] ist hier 2x+2. Wenn Du die Probe rechnest, d.h. 1/4 (2x+2)^4 ableitest, dann kommst Du auf (2x+2)^3 * 2, weil Du ja noch mit der inneren Ableitung multiplizieren musst (Kettenregel). Dieser Faktor 2 ist zu viel. Also teilst Du Deine naive Stammfunktion noch durch 2 und bist fertig:
F(x) = 1/8 (2x+2)^4 ist eine Stammfunktion von f. Allgemein spricht man hier von einer "linearen Substitution". Diesen Trick kann man bei sehr vielen Aufgaben anwenden; klassische Beispiele waeren f(x)=(7x+3)^10, f(x)=sin(2x+2), f(x)=e^(3x-5) etc.
Beim ersten Beispiel koenntest Du theoretisch noch ausmultiplizieren, was aber schon extrem aufwendig waere (probier's aus :D). Fuer die letzten beiden Beispiele brauchst Du obige Ueberlegung auf jeden Fall.
Du kannst die Summe direkt abschätzen: Die Summanden werden für wachsendes k immer kleiner (da die Nenner immer größer werden). Die Summe ist größer als wenn Du immer den kleinsten Summanden nehmen würdest, d.h. den für k=n, ergo:
sum 1/sqrt(k) >= sum 1/sqrt(n) = n/sqrt(n) = sqrt(n)
Ich habe hier einmal erklaert, wie man eine lineare Regression durchfuehrt. Man muss dafuer Matrizen multiplizieren bzw. invertieren koennen - beides laesst sich mit Python bewerkstelligen. Bittesehr:
https://www.gutefrage.net/frage/regression-von-nichtlinearen-funktionen?foundIn=list-answers-by-user#answer-275715332
Eine Anwendung wurde bereits hier diskutiert:
https://www.gutefrage.net/frage/dgl-einer-rakete-mit-veraenderlicher-masse-loesen?foundIn=list-answers-by-user#answer-268270132
Genau danach hast Du doch bereits gefragt und auch eine kurze und knackige Definition erhalten:
https://www.gutefrage.net/frage/teilweise-wurzelziehen-rationalmachen-des-nenners-referat?foundIn=unknown_listing
Definition der Quadratwurzel: "Die Quadratwurzel einer Zahl a≥0 ist diejenige Zahl w≥0, fuer die w²=a gilt."
Knapper wird es nicht gehen...
Hier geht es vielleicht um die Herleitung der Loesungsformeln fuer kubische Gleichungen. Diese sind als "Cardanische Formeln" bekannt (vgl. https://de.wikipedia.org/wiki/Cardanische_Formeln). Derartige Ueberlegungen fuehrt man typischerweise im Rahmen der Galoistheorie durch (vgl. https://de.wikipedia.org/wiki/Galoistheorie).
Du musst zeigen, dass jede der Umformungen eine Aequivalenzumformung ist, d.h. insbesondere, dass sie sich umkehren / rueckgaengig machen laesst.
Betrachte folgendes Beispiel:
LGS1:
x + 2 y = 5
4 x - y = 2
Umformung vorwaerts: Wenn diese beiden Gleichungen gelten, dann gilt auch x+2y+4x-y=5+2 (beide Gleichungen addiert), also 5x+y=7. Das bedeutet, dass Du aus LGS1 folgendes LGS2 herleiten kannst:
LGS2:
x + 2 y = 5
5 x + y = 7
Umformung rueckwaerts: Nun musst Du zeigen, dass man aus LGS2 auch wieder LGS1 herleiten kann: Wenn also LGS2 erfuellt ist, dann gilt auch 5x+y-x-2y=7-5 (zweite minus erste Gleichung), also 4x-y=2. So erhaelst Du wieder LGS1.
Also konntest Du die elementare Umformung "addiere die erste Gleichung zur zweiten" wieder umkehren - es handelte sich um eine Aequivalenzumformung. Genau das musst Du nun fuer jede der drei elementaren Umformungen und ein beliebiges Gleichungssystem machen.
Vielleicht eine Alternative: Je nach dem, wie ihr Gleichungssysteme notiert, koenntest Du auch gleich die Matrix-Schreibweise verwenden. Du koenntest die elementaren Umformungen dann als Multiplikation mit einer geeigneten Matrix auffassen und zeigen, dass diese jeweils invertierbar sind.