Integral mit Treppenfunktion berechnen?
Kann mir jemand sagen wie ich die Funktion unterteilen soll? Ich habe ja keine konkrete obere Grenze, sondern nur ein x 🤔?
2 Antworten
Du kannst eine aequidistante Zerlegung verwenden: Unterteile das Intervall [0, x] in N Teilintervalle I_k = [a_k, a_{k+1}), wobei a_k = k * x / N fuer k = 0, ..., N-1. Ich bezeichne f(t) = t^3 + 2(t^2+t) + 1. Auf dem Intervall I_k definierst Du nun die Treppenfunktion T_N(t) := f(a_k). Mache Dir dazu am besten eine Skizze.
Das Integral dieser Treppenfunktion waere nun:
int_0^x T_N(t) dt
= sum_{k=0}^{N-1} (a_{k+1} - a_k) * T_N(a_k)
= sum_{k=0}^{N-1} x/N * f(a_k)
= x/N sum_{k=0}^{N-1} f(k * x / N)
Jetzt setzt Du f ein und berechnest die Summe fuer ein allgemeines N (und allgemeines, festes x) - dafuer benoetigst Du natuerlich gewissen Summenformeln (vgl. https://de.wikipedia.org/wiki/Faulhabersche_Formel#Explizite_Darstellungen).
Nun hast Du die Berechnung eines Integrals auf die Berechnung einer (Riemann-)Summe zurueckgefuehrt. Schliesslich betrachtest Du den Grenzwert N->unendlich und argumentierst, dass dieser dem Integral entspricht.
Ganz normal die Stammfunktion berechnen, die Obergrenze x einsetzen und die Untergrenze 0. In deinem Fall werden dann alle t durch x ersetzt, das sollte aber dann die richtige Lösung sein
Tut mir leid, das habe ich wohl überlesen.
https://www.math.uni-sb.de/ag/wittstock/lehre/WS00/analysis1/Vorlesung/node69.html
Wow das kann ich auch 🙄 ich hab doch geschrieben ich muss Treppenfunktionen verwenden ...