Unterschied zwischen dem Integral und Flächeninhalt?
Hi,
eine kurze Verständnisfrage: Wir haben die Funktion f(x)=3x^2-4 und wollen das Integral bzw. den Flächeninhalt von -1 (untere Grenze) bis 3 (obere Grenze ausrechnen). Bei dem Integral kann ich dies ganz normal berenchen (kommt 12 raus), da es ja den Bestand angibt. Bei dem Flächeninhalt müsste ich jedoch er die Schnittpunkte der Funktion mit der x-Achse ausrechnen (1,155 und -1,155) und dann einzeln die Beträge der Integrale der Intervalle [-1; 1,115] und [1,115; 3] nehmen, oder?
Vielen Dank!
3 Antworten
Das ist richtig, das Integral zählt Flächen unterhalb der x-Achse sozusagen als negativen Flächeninhalt, daher muss man hier den Betrag nehmen um auf den gesamten Flächeninhalt zwischen Kurve und x-Achse zu kommen.
MERKE : Das Integralzeichen S (verrezertes S) ist der mathematische Befehl zur Aufsummierung unendlich kleiner Teilflächen dA zu der der Gesamtfläche A.
Außerdem erhält man durch die Integration die "Stammfunktion",wovon vorher abgeleitet wurde.
Über Nullstellen darf man nicht hinweg integrieren,weil bei der Integration die Fläche unter der x-Achse ein "Minuszeichen" erhält und somit von der oberen Fläche abgezogen wird.
Deshalb muss man die Beträge der Einzelflächen zur Gesamtfläche addieren.
Ausnahme ist die Flächenberechnung zwischen 2 Kurven f(x) und g(x)
Formel A= Integral f(x) - g(x) hier ist f(x) die Begrenzung nach oben und g(x) die Begrenzung nach unten.
Wegen den - vor g(x) erhalten die Flächen unter der x-Achse ein + und werden somit zu den oberen Flächen hinzu addiert.
Man kann deshalb bei dieser Formel über die Nullstellen im Intervall x2/ x1 hinweg integrieren.
Beim bestimmten Integral wird gnadenlos alles, was unter der x-Achse ist, subtrahiert. Integriere mal spaßeshalber
x³ von -2 bis +2.
Daher muss man immer von Nullstelle zu Nullstelle integrieren und die Absolutwerte nehmen (bzw. von linker Grenze bis Nullstelle und von Nullstelle bis zur rechten Grenze).
Noch ein wichtiger Hinweis: Für den genauen Wert bitte auch mit den genauen Nullstellen rechnen (Wurzel(4/3)) oder so