Länge eines Funktionsgraphen ausrechnen?

Hallo ich bin kurz vorm Abi und möchte mithilfe des Integrals die Länge eines Funktionsgraphen ausrechnen, sagen wir die Länge von f(x) = x^2 zwischen 0 und 2.

Ich hab mir schon überlegt den Pythagoras anzuwenden.

Mit einiger Überlegung komme ich dazu:

Die Summe aus der Wurzel ergibt reinmathematisch die Funktionslänge. Mein Problem ist jetzt, wie wende ich darauf hin das Integral an? Anders gefragt: Das integrieren ist nicht mein Problem, mein Problem ist, inwiefern mir hier das Integral hilft. Ich habe schon bemerkt, dass meine jeweiligen Größen des Dreiecks sehr sehr klein sind, also dx und dy. Wahrscheinlich hab ich das Integral komplett falsch verstanden, in der Oberstufe lernt man nur dass das Integral die Fläche unter der Kurve sei und eine ,,Summe", also verstehe ich auch die Herleitung des Rotationskörpers, indem ich mir sage, dieses x in f(x)^2 nimmt jeden Wert im Intervall des Integrals mal an. Nur dieses Wissen oder ehrlich gesagt dieses nicht-wissen bringt mir hier rein gar nichts. In der Schule hatten wir gelernt, dass dieses dx dann als Multiplikation dahinter steht, also beim Rotationskörper hätte man dann ganz viele unendlich schmale Zylinder, nur wieso sollte ich meine Wurzel denn noch mit dx multiplizieren? Wäre nett wenn mir jemand helfen würde und mein nicht-wissen in wissen verwandelt.

Danke =)

Länge eines Funktionsgraphen ausrechnen?
Schule, Mathematik, Mathe, Informatik, Integral, Integration, Physik, Graphen, Analysis
Integral: Seltsamer Widerspruch?

Guten Abend,

ich bin bekannt dafür, mir immer wieder seltsame Dinge auszudenken und diese als ,,Widerspruch" zu verkleiden, meist führt dies zu einem intensiveren Verständnis, meist kann ich das Problem selbst bewältigen, nur diesmal ist mir wieder etwas ordinäres in den Sinn gekommen.

Die folgende Aufgabenstellung kam von mir, ist nur etwas abgewandt übernommen worden aus dem Mathebuch.

f(x) gibt die Radionuklidzerfälle pro Tag an, x ist die Tagesanzahl. Logischerweise nur für x größer 0. Beginnend bei 0:

Fall: Verfallsreihe, Annahme: 
Zu Beginn der Beobachtung(x=0) werden 1024 pro Tag Radionuklidzerfälle und 
nach 10 Tagen(x=10) nur noch 128 Radionuklidzerfälle pro Tag gemessen. 

Dazu passt folgende Funktion, bei der f(0) = 1024 und f(10) = 128 sind:

f(x) = 1024*2^(-3/10*x)

Die Integration ist:

F(x) = (1024*10)/(-ln(2)*3) * 2^(-3/10x)

So, nun dachte ich folgendes: Zu Beginn der Beobachtung, also am ersten Tag, bzw. am nullten Tag, innerhalb des nullten Tages zerfallen insgesamt 1024 Radionuklide an diesem einem. Sehr schön dachte ich mir, von wo bis wo geht denn der nullte Tag?

Dazu folgende Überlegung:

Da x kleiner null ausgeschlossen ist, nahm ich an, der erste bzw. nullte Tag, zur Vereinfachung der Überlegung nehme ich nun einfach den ersten Tag als Initialtag an, den Zeitraum der roten Markierung abdeckt.

Dem zufolge ist der erste Tag von 0 bis 1 und der zehnte Tag die Fläche von 9 bis 10. Diese Flächen sind also folglich die Zahl der Zerfälle an einem der Tage.

Das würde bedeuten, das folgende Integrale gelten:

Am ersten Tag zerfallen 1024 Nuklide, dies ist meiner Überlegung nach von 0 bis 1 Tage, usw.

Nur ist es falsch, wo ist mein Denkfehler?

Tatsächlich kommt beim ersten Integral 924.5441253227373 und beim zweiten 142.2809168477438... raus. Die Aufgabe ist im Prinzip identisch wie die aus dem Buch, dort war die Funktion minimal anders und die meine Idee funktionierte dort besser und hätte mich fast vom falschen überzeugt.

Danke im voraus, für jeden der sich die Zeit nimmt, sich mit meinem Problem zu beschäftigen :)

Integral: Seltsamer Widerspruch?
Schule, Mathematik, Mathe, Integral, Integration, Physik, Widerspruch

Meistgelesene Fragen zum Thema Integral