Fläche zwischen 2 Graphen mit Integral berechen?
Integral von f(x) - g(x) was passiert wenn man die beiden Funktionen tauscht? wird das ergebnis dann vielleicht einfach nur negativ?
2 Antworten
Das Integral kann negativ werden, denn das Integral ist immer eine gewichtete Fläche (d.h. Bereiche unterhalb der x-Achse werden negativ gewichtet, ebenso wird es negativ gewichtet wenn du die Ober- und Untergrenze vertauschst). Da eine Fläche aber immer positiv sein muß wird bei der Flächenberechnung ohnehin immer nur von Nullstelle zu Nullstelle integriert und die Einzelergebnisse jeweils in den Betrag gesetzt. D.h. du addierst immer nur positive Zahlen auf, egal in welcher Reihenfolge du die Subtraktion der Funktionen durchführst.
Nachtrag: Nutze die Linearität des Integrals aus.
d.h. die beiden Integrale sind betragsmäßig gleich, sie unterscheiden sich nur im Vorzeichen. Sind nun a und b Nullstellen von h(x) = f(x) - g(x) und verwendest du wie von mir oben erwähnt den Betrag des Integrals für die Fläche kommt bei beiden Rechenreihenfolgen das gleiche Ergebnis heraus.
Ja, und der Beweis ist einfach. Ich füge ihn in die Antwort ein, da ich in Kommentaren keine mathematischen Formeln schreiben kann.
Das Integral einer Funktion f(x) über dem Intervall [a,b] mit der Fläche zwischen dem Grahpen und der x-Achse gleich zu setzen, ist nur eine Halbwahrheit.
Integriert man z.B. die Funktion sin(x) über dem Intervall [0,2pi], kommt Null heraus, weil sich die positiven und negativen Funktionsanteile aufheben.
Will man explizit eine Fläche berechnen, muss man die Nullstellen von f(x) betrachten, um positive und negative Funktionsanteile unabhängig voneinander betrachten zu können.
Das gilt ebenso beim Integrieren einer Differenzfunktion d(x) = f(x) - g(x) über einem Intervall [a,b]. Folgende Fälle sind zu unterscheiden:
d(x) > 0 für welche x € [a,b] ?
d(x) < 0 für welche x € [a,b] ?
oder einfacher: ob d(x) im Intervall [a,b] Nullstellen aufweist. Die negativen bzw. positiven Bereiche von d(x) sind dann unabhängig voneinander zu integrieren.
Oft findet man stattdessen den Vorschlag, einfach den Betrag von d(x) zu integrieren. Das scheitert aber oft daran, dass dafür keine einheitliche Stammfunktion im Intervall [a,b] bestimmt werden kann, was dann letztlich wieder zu mehreren Teilintegralen führt.
kommt dann immer dasselbe raus? Egal wie rum man die Funktionen von einander subtrahiert, weil ich erinnere mich daran, dass mein Lehrer öfters etwas zu der Reihenfolge in der Subtraktion gesagt hatte, ich weiß aber nicht mehr was. Kann sein, dass er meinte es ist egal wie rum