Integrale Flächenberechnung zwischen Funktionen?
Hallo,
wenn ich eine Fläche zwischen zwei Funktionen mit der Differenzfunktion berechnen möchte, woher weiß ich dann, ob ich f(x)-g(x) oder g(x)-f(x) rechnen muss?
6 Antworten
Generell ist das hier der Regel für die Berechnung des Flächeinhalts, wenn man einen ( oder zwei, in diesem Fall ) Integral dafür nutzt.
Als Beispiel solltest Du diese zwei Integrale dafür annehmen, damit Du einen Übersicht sehen kannst, wie es geht.
Sei :
Ergebnisse : x = -1, x = 3
Abgesichts dieser Lösung ist das Ergebnis eines Flächeinhalts anhand zwei Integrale positiv, und es gibt keine Ausnahmen dazu. Bei negativen Ergebnissen sollte man einfach einen Absolutwert davon finden, was ein positives Ergebnis ergibt.
Im Allegemeinen ist das hier die Formel eines Integrals, wenn es einen Parabel - f(x) und eine Linie - g(x) gibt.
Dieser Fall wird nur benutzt, wenn f(x) ≥ g(x) ist, was der allegemeine Regel von Berechnung des Flächeinhalts ist.
Generell gilt "obere" Kurve minus "untere" Kurve.
Kennt man aber die Lage nicht, da man die zugehörigen Grafen nicht hat dann sieht man am Ergebnis, sollte es "negativ" sein, dass man die Reihenfolge tauschen muss.
ABER nimmt man den "Betrag" stimmt das Ergebnis wieder.
Bsp:
Obere Kurve: +5 FlächenEinheiten
Untere Kurve: +2 FlächenEinheiten
+5-(+2) = 3 FE (Positives Ergebnis) alles in Butter
+2-(+5) = -3 FE Es gibt keine NEGATIVE Fläche also den Betrag darus rechnen.
|-3| = 3
ACHTUNG:
Liegt eine Kurve UNTER der X-Achse mit einem Flächenanteil, dann nochmal getrennt diese Flächen betrachten.
Daher geht diesen Aufgaben eigentlich zunächst eine Kurven Diskussion voraus, bevor es an die Flächen zwischen "irgendwo" geht.
Zur Frage : ist egal . Wichtig sind weitere Schnittpunkte innerhalb der Integrationsgrenzen
.
Als Beispiel
Drei Schnittpunkte
int -1.83 to -0.65 f(x) = (x+3) - ( (x+2)(x-2)*x ) = -1.01.........MINUS
vertauscht man die Fkt wird es PLUS 1.01
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int -0.65 to 2.49 f(x) = (x+3) - ( (x+2)(x-2)*x ) = 14.29
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Aber Int von -1.83 bis 2.49 = 13.28, was die Summe von -1.01 und 14.29 ist
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Eine Fläche ist immer positiv. Du mußt daher von Schnittpunkt zu Schnittpunkt integrieren und dabei ggf. negative Werte des Integrals mit -1 multiplizieren. Dann ist es unerheblich ob du f-g oder g-f integrierst, denn es ist ja
Berechne den Betrag davon und gut ist es.
Das Wichtigste ist hier sowieso, darauf aufzupassen, dass sich die Funktionen im Integrationsintervall nicht schneiden und wenn doch, das Integral der Differenz in zwei oder mehrerer Teilintervalle zwischen den jeweiligen Schnittpunkten aufzuteilen.
zwei Dumme, ein Gedanke...