Integralrechnung | Warum ist das bestimmte Integral eigentlich ein Flächeninhalt, obwohl es auch negative Werte liefern kann?
Hey,
Ich verstehe irgendwie nicht, wieso negative Flächen sinnvoll sein sollen oder wann man Vorzeichen beachten muss bei Flächenberechnung.
Ich setze mich gerade privat mit diesem Thema auseinander aber verzweifle…
LG
PS. Danke für alle Antworten <3
4 Antworten
Du kannst das bestimmte Integral als "vorzeichenbehafteten Flächeninhalt" ansehen. Das Vorzeichen ist sinnvoll, wenn es um eine Bilanz geht (z.B. bei der Berechnung einer Energie, die über einen gewissen Bereich zu- und abfließen kann).
Dass dabei Bereiche unterhalb der x-Achse negativ zählen gilt, wenn von links nach rechts integriert wird...
Flächen oberhalb der x-Achse sind positiv, Flächen unterhalb der x-Achse sind negativ.
Das Integral beantwortet ja in gewisser Weise solche Frage wie "wie viel Wasser ist von Zeitpunkt a bis Zeitpunkt b in die Badewanne insgesamt raus- und reingeflossen". Und da ja auch was rausfließen kann, ist es durchaus sinnvoll, dass es negative Werte gibt. Eine negative Fläche entspricht dann der Wassermenge, die in einem bestimmten Zeitraum rausgeflossen ist.
Wenn du dich also für solche Fragen interessierst, dann integrierst du einfach von a bis b. Wenn du aber wirklich die Flächen zwischen der Funktion und der x-Achse wissen willst, dann muss du schauen, wo die Funktion jeweils die x-Achse schneidet, und stückweise integrieren.
Es muss ja nicht unbedingt eine Fläche sein, es kann auch eine andere Größe sein, die besser vorstellbar ist.
Z.B. ist s(t) = ∫ v(t)dt eine Strecke s(t) dargestellt als Integral einer Geschwindigkeit v(t) über die Zeit t. Da kann man sich gut vorstellen, dass die zurückgelegte Strecke anwächst, wenn die Geschwindigkeit positiv ist. Legt man den Rückwärtsgang ein, nimmt die Strecke wieder ab.
Stimmt, natürlich kann es sich auch um eine Fläche handeln 😶Danke dir, hab ich einfach vergessen 😅
Eine Negative Fläche in dem Sinne ist die Fläche zwischen X-Achse und negativen Werten einer Funktion. So abwegig ist das nicht. Bei der Summierung von Zahlenfolgen kann es ja auch sein, dass Du negative Zahlen aufsummierst und damit einen negativen Wert bekommst.