Wann ist bei einer Integral Aufgabe auch die Fläche unterhalb der x-Achse mitgemeint?
Wie erkenne ich anhand einer Aufgabenstellung, ob ich bei der Berechnung eines Integrals auch die Fläche unterhalb der x-Achse berücksichtigen soll?
Wenn ich richtig liege, muss man bei dem „Integralwert“ mit Vorzeichen berechnen und bei „Fläche“ auch unter der x-Achse.
3 Antworten
Es geht wohl darum, aufzupassen, dass sich positive und "negative" Flächen nicht verrechnen.
In diesem Fall Nullstellen ausrechnen und die Abschnitte gesondert auf den Betrag integrieren.
Ich denke, darum geht es.
Nimm z.B. das Integral über die Sinuskurve von 0 bis 4 Pi. Du hast negative und positive Flächen, das würde sich auf Null summieren. Will man aber die Fläche als solche berechnen, nimmt man die Nullpunkte und berechnet gesondert (bei Sinus natürlich nicht, dort nimmt man eine Welle und multipliziert den Welleninhalt entsprechend oft).
Naja also der Wert eines bestimmten Integrals kann man als orientierter Flächeninhalt interpretieren. Also wenn die Fläche zwischen funktionsgrafen und x Achso in positiver y Richtung ist, so ist auch der Wert des Integrals positiv. Ist er in negativ y Richtung so ist der Wert des Integrals negativ. Also anhand des Ergebnises siehst du auch welcher Fall das ist.
Da, wo die Funktion negativ ist, trägt die Fläche unter der x-Achse zum Integral bei. Das ergibt sich doch von selber, darüber brauchst Du Dir nicht den Kopf zu zerbrechen.