Wie berechne ich den Flächeninhalt unter der e-Funktion?
Hallo zusammen, ich verstehe nicht genau, wie ich das berechnen soll, kann mir jemand helfen?
Der Graph der Funktion f mit f(x) = e^x + 1, seine Tangente im Schnittpunkt mit der y-Achse, die ×-Achse und die Gerade mit x = -4 begrenzen eine Fläche. Berechnen Sie deren Flächeninhalt.
vielen Dank im Voraus!
LG
2 Antworten
Ich denke du musst erstmal auf die Tangentengleichung kommen. y=mx+b.. m ist die Steigung also die Ableitung der Funktion.. Diese wäre dann hier e^x. Nun soll es sich um die Stelle x = 0 handeln, also f´(0) = e^0 * 0 + 2 (denn die e funktion hat ihren y-achsen schnittpunkt bei 1, also hat e^x+1 diesen bei 2). Also ist die Tangente einfach eine Gerade mit der Gleichung y = 2. Nun sollst du den Flächeninhalt die diese 3 Funktionen bilden berechnen. Ich weis nun nnicht so ganz wie ich das erklären kann also hänge ich Bilder an die Nachricht.
Im ersten siehst du die 3 Graphen und die Fläche dazwischen.
Wenn du nun den grünen Graphen "nach unten klappst" dann erkennst du, dass die Fläche die der rote (nach unten geklappte Graph) mit der xAchse einschließt, genauso groß ist wie der zu berechnende Flächeninhalt.
Um die e Funktion nach unten zu klappen musst du einfach ein - vor das e schreiben.
Also müsste hier die Funktion g(x) = -e^x + 1 im Intervall [-4 ; 0] integriert werden.
Ich hoffe ich liege nicht komplett daneben, ich bin kein prof, aber so hätte ich das jetzt verstanden..
Hier noch die den Farben zugehöigen Graphen..
f(x) = e^x + 1 (grüner Graph)
f'(x) = e^x
Die Steigung der Tangente im Punkt x = 0 beträgt f'(0) = e^0 = 1, auserdem läuft die Tangente durch den Punkt (0, f(0)) = (0,2)
Die Tangente lautet somit: t(x) = x + 2 (schwarzer Graph)
Die Integration beginnt bei x = -4 (oranger Graph).
Es geht also um das Integral f(x) im Intervall [-4,0] abzüglich des Dreiecks, welches t(x) mit den xy-Achsen bildet:
F(x) = Integral f(x) = e^x + x + C
F(0) - F(-4) ~ 4.98 Einheiten
Fläche Dreieck = 2*2*1/2 = 2
Gesamtfläche ~ 2.98 Einheiten
Kein Problem. Bei vielen Aufgaben muss man mehrmals lesen, um sie zu verstehen. Mir geht es da nicht anders.
Das scheint wohl eher zu stimmen. Bei mir ist es keine Tangente!