Mathe alte Abituraufgabe?
Kann mir einer erklären wie man auf das Ergebnis bei 4. kommt, g(x) muss doch die Ortskurve vom zuvor berechneten Hochpunkt und Tiefpunkt sein oder?
Wie kann das:
Beweisen dass folgender Punkt
auf g(x) liegt, die y Koordinate stimmt doch garnicht über ein
2 Antworten
f(x) = x² * e^(-ax)
Eine Extremstelle von f(x) liegt bei x = 2/a.
Nun berechnet man den Funktionswert von f(2/a), d.h. die "Höhe" des Extremwerts:
(I): f(2/a) = 4/a² * e^(-2)
Dieser Funktionswert ist von a abhängig. Nun sollen alle diese Extremwerte als Funktion g(x) dargestellt werden. Dazu ersetzt man das Funktionsargument 2/a durch x, d.h. x = 2/a und damit a = 2/x. Dann wird aus (I) die gesuchte Funktion:
g(x) = 4/(2/x)² * e^(-2) = x² * e^(-2)
Der Graph von g(x) stellt alle Extremwerte dar, die in Abhängigkeit von a auftreten können. Die Graphen von fa(x) und g(x) haben nur zwei gemeinsame Funktionswerte (Schnittpunkte), bei x = 0 und bei x = 2/a.
Das folgende Bild soll das nochmals verdeutlichen:
Grüne Kurve fa(x) mit a = 1. Ein Extrempunkt liegt bei x = 2/a = 2
Blaue Kurve fb(x) mit a = 1/2. Ein Extrempunkt liegt bei x = 2/0.5 = 4
Die rote Kurve g(x) ist für alle a konstant und entspricht bei x = 2 der Höhe des Extrempunkts von fa und bei x = 4 der Höhe des Extrempunkts von fb.
Am gegebenen Schnittpunkt könnte man dann auch die Variable a ablesen, z.B. bei x = 4 gilt a = 2/x = 1/2.
g(x) muss doch die Ortskurve vom zuvor berechneten Hochpunkt und Tiefpunkt sein oder?
Ja, genau