Möglichkeiten zur Bestimmung der Ortskurve?
Hallo liebe Mathematik-Profis,
wir haben uns im Unterricht in letzter Zeit mehr oder weniger intensiv mit der Ortskurve von Funktionen mit Parameter beschäftigt (GK Q1). Dabei haben wir eine Methode gelernt, die ich auch verstanden habe:
Methode 1 Bsp. Berechne die Ortskurve der Tiefpunkte der Funktion f(x)
- Tiefpunkt(e) berechnen
- Zwei Funktionen mit X= und y= für die Koordinaten des Tiefpunktes aufstellen
- Funktion für X= nach dem Parameter umstellen
- Die umgestellte Funktion in die Y= Funktion einsetzen und die Funktion noch kürzen. —>Ortskurve
Der Hintergrund ist ja, dass man eine Abhängigkeit zwischen der Y-Koordinate und der X-Koordinate des Tiefpunktes schafft. Die Umstellung des Parameters bewirkt ja, dass der erhaltene Wert direkt in die Funktion y= eingesetzt werden kann. So kann ich letzendlich also den Y-Wert des Tiefpunktes mit Hilfe eines gegeben X-Wertes berechnen.
Die andere Methode geht so:
- Tiefpunkt(e) berechnen
- Eine Funktion für X= für die X Koordinate des Tiefpunktes aufstellen
- Funktion für X= nach dem Parameter umstellen
- Die umgestellte Funktion in die Ursprungsfunktion f(x) einsetzen und die Funktion noch kürzen
Auch auf diese Weise kommt man auf die Ortskurve. Aber leider verstehe ich nicht so wirklich, warum das auch funktioniert. Mir ist klar, dass die Ursprungsfunktion f(x) und die Funktion y= für die Y-Koordinate des Tiefpunktes « verwandt » miteinander sein müssen. Aber viel weiter komme ich dann leider nicht.
Kann mir vielleicht jemand die Hintergründe der zweiten Methode erklären? Tut mir leid für so viel Text ;-)
LG
1 Antwort
mit f(x) wird der y-Wert ausgerechnet
im ersten Schritt wird x in Abhängigkeit von einem Parameter berechnet und dann nach dem Parameter aufgelöst. Da jeder Ortspunkt zu einer Funktion der Schar gehört, kann der y-Wert mit f(x) ausgerechnet werden. Die y-Werte sind vom Parameter abhängig. Um die Ortskurve zur erhalten, muss der Parameter weg sein. Das erreicht man durch ersetzen mit der nach dem Parameter aufgelösten Funktion der x.Werte
einfach mal an einem konkreten Beispiel, bei dem die Ortskurve schon bekannt ist, auf beide Arten ausprobieren.
Das habe ich schon ein paar mal gemacht. Für mich war es dann immer verwunderlich, wie die Funktion mit der zweiten Methode auf scheinbar magische Weise nach Einsetzen des umgestellten Parameters langsam, aber sicher die Funktion der Ortskurve annahm. Bei der ersten Methode konnte ich mir immerhin erklären, wieso das nun die Ortskurve sein muss.
Aber es macht schon Sinn, sich die Ortskurve als eine Sammlung zusammenhängender und ausgewählter Koordinaten der Funktionschar vorzustellen.
Vielen Dank! Deine Erklärung ist einleuchtend.