Ist Funktion surjektiv, wenn "mehr" Werte als Definitionsbereich angenommen werden können?

Hallo, ich hätte eine Frage.

Ist eine Funktion auch dann surjektiv, wenn potenziell mehr Werte angenommen werden können, als der Wertebereich vorgibt? Surjektivität bedeutet ja, dass für jedes y aus dem Wertebereich ein x aus dem Definitionsbereich existiert. Das wäre ja auch gegeben, wenn die Funktion mehr y Werte liefert als erlaubt?

Bspw. f(x) = x^2 ist ja surjektiv für R --> R

wäre f(x) = x^2 noch immer surjektiv für R --> N ? Es würden ja alle natürlichen Zahlen erreicht werden, nur eben noch mehr als diese, wenn man alle Reellen Zahlen einsetzen darf.

Answer 1

[ChrisGE1267]

f: R -> R mit x -> x^2 ist NICHT surjektiv, hingegen:

f: R -> R_0^+ mit x -> x^2 IST surjektiv.

f: R -> N mit obiger Funktionsvorschrift IST ebenfalls surjektiv…

Woher ich das weiß: Studium / Ausbildung – PhD Analytische & Algebraische Zahlentheorie

Answer 2

[evtldocha]

Bspw. f(x) = x^2 ist ja surjektiv für R --> R

... da habe ich einen Einwand. Das wäre surjektiv, wenn die Abbildung für ℝ → ℝ⁺ definiert wäre. Das hast Du aber so nicht hingeschrieben und dann gibt es für den Zielbereich ℝ^- eben kein Urbild.

Zur eigentlichen Frage: Kann

$f:\mathbb{R}\ \ \to\mathbb{N}\ :\ x\ \to x^2$

überhaupt eine sinnvoll definierte Funktion sein, wenn die Definition einer Funktion erfordert, dass jedem "x" aus der Definitionsmenge genau ein Wert der Zielmenge zugeordnet wird (mit x = π wird es da schwierig)?