Mathe Injektivität Surjektivität?
Hi, kann mir bitte jemand die rot unterstrichene Begründung für die Surjektivität in der Aufgabe erklären. Eine Funktion ist ja surjektiv, wenn es für jedes x aus dem Definitionsbereich in der funktion auch ein y aus dem Werteberreich gibt. Aber wie haben die das hier jetzt begründet/bewiesen?
3 Antworten
Schau dir die Definition nochmal an. Es muss zu jedem y der Zielmenge ein x aus dem Definitionsbereich geben mit y = f(x). Per Definition gilt
und um das für das gegebene f zu beweisen, müssen wir zeigen, dass zu jedem nicht-negativen y (also für jedes y aus der Zielmenge) ein reelles x (also aus der Definitionsmenge) existiert, sodass y = f(x) ist. Das heißt, wir nehmen uns ein beliebiges y aus der Zielmenge (hier die nicht-negativen reellen Zahlen) und geben dann ein x an, sodass y = f(x) ist. Durch das Angeben von einem x zeigen wir, dass dieses y auch wirklich angenommen wird. Und da das y beliebig war, gilt die Aussage für alle nicht-negativen reellen Zahlen.
In dem Fall wurde einfach
gesetzt und dann gezeigt, dass dann
gilt. Denn wenn x = y ist, ist auch |x| = |y| und weil y nicht-negativ gewählt war (denn die Zielmenge enthält ja nur nicht-negative Zahlen), ist |y| = y. Zusammengesetzt:
"Eine Funktion ist ja surjektiv, wenn es für jedes x aus dem Definitionsbereich in der funktion auch ein y aus dem Werteberreich gibt."
Ne. Das ist falsch herum. Das gilt für jede Funktion - für jedes x aus dem Definitionsbereich gibt es ein y mit f(x) = y (sonst wäre die Funktion ja auf dem x nicht definiert).
Richtig ist: Eine Funktion f ist surjektiv, wenn es für jedes y aus dem Wertebereich ein x aus dem Definitionsbereich gibt, so dass f(x) = y gilt. Umgangssprachlich also: Jedes y aus dem Wertebereich wird irgendwie auch erreicht, so z. B. "Die Funktion f beschreibt, welche Note f(x) ein Schüler x in der Mathearbeit bekommen hat. Wenn jede Note 1,2,3,4,5,6 mindestens einmal vorkommt, dann ist die Funktion surjektiv."
Und das ist in dem Fall der Aufgabe a) klar, deswegen wird das da nur hingeschrieben: Ich hab ein y (das ist nach Definition des Wertebereichs eine positive Zahl) und such dazu eine Zahl x, deren Betrag gerade y ist. Und dafür finde ich nicht nur eine Möglichkeit - nämlich x = y, sondern zwei, dann auch für -y ist das richtig.
Für Surjektivität muss es zu jedem y aus dem Zielbereich ein x aus dem Definitionsbereich geben.
Im konkreten Fall gibt man nun eine beliebige nicht-negative, reelle Zahl y vor. (Denn der Zielbereich ist die Menge der nicht-negativen, reellen Zahlen.) Wenn man dazu nun jeweils einen passenden x-Wert mit f(x) = y angeben kann, ist die Funktion f surjektiv.
Und solch einen passenden x-Wert erhält man im konkreten Fall, indem man x = y wählt. Mit diesem x-Wert erhält man nämlich...
f(x) = |x| =[da x = y gewählt wurde]= |y| =[da y eine nicht-negative reelle Zahl ist]= y
Da man also zu jedem y-Wert einen x-Wert (nämlich beispielsweise x = y) finden kann, sodass f(x) = y ist, ist die Funktion f surjektiv.