Injektiv, Surjektiv, Bijektiv?
Hey Leute,
Ich verstehe das Ganze mit -In, -Sur und -Bijektiv nicht ganz. Ich habe folgende Aufgabe vor mir und komme nicht weiter:
Untersuchen Sie die folgenden Funktionen auf Injektivität, Surjektivität und Bijektivität: (a) f : R → [1,∞), f(x) := |x| + 1
Ich hab die Funktion auf Injektivität untersucht und dachte mir, dass es nicht Injektiv sein kann. Ich habe für Fall1 und Fall2 verschiedene Einsatzwerte eingesetzt und bekam ein Wert öfter raus. (Ich hoffe dies ist richtig.)
Und nun weiß ich leider nicht genau wie ich bei der Surjektivität weitermachen soll. Kann mir da Jemand helfen?
Bedanke mich im Voraus! :)
2 Antworten
Hallo,
eine Abbildung heißt injektiv, wenn zu jedem Element aus der Zielmenge höchstens ein Element aus der Definitionsmenge existiert.
Das ist bei f(x)=|x|+1 nicht der Fall, denn sowohl zu x=1 als auch zu x=-1 gehört der gleiche Funktionswert 2. Damit hat sich die Bijektivität gleich mit erledigt, weil eine Abbildung nur bijektiv ist, wenn sie sowohl injektiv als auch surjektiv ist.
Surjektiv bedeutet, daß zu jedem Element aus der Zielmenge mindestens ein Element aus der Definitionsmenge gehört. Das ist hier der Fall, weil die Zielmenge alle positiven Zahlen zwischen 1 und unendlich umfaßt und jede von ihnen durch ein passendes x das Ergebnis von |x|+1 sein kann. Etwas anderes wäre es, wenn die Zielmenge die Menge der reellen Zahlen wäre. Da |x|+1 mindestens 1 ergibt und niemals kleiner als 1 werden kann, würde auf keine Zahl unter 1 irgendein Element aus der Definitionsmenge abgebildet. In diesem Fall wäre die Abbildung nicht surjektiv. Wegen der Beschränkung der Zielmenge auf den Bereich zwischen 1 und unendlich ist diese Abbildung aber surjektiv.
Herzliche Grüße,
Willy
Dass die Funktion nicht injektiv ist, kannst du ganz einfach damit beweisen, dass z.B. x=1und x=-1 beide denselben Funktionswert haben.
Für den Beweis der Surjektivität nimmst du einfach an, dass es einen Wert y in [1,∞) geben würde, den die Funktion nicht annimmt.
Annahme: Es gibt ein y in [1,∞) so dass für alle reellen x gilt:
f(x) = │x│+1 ≠ y
Aber wenn du x = y-1 wählst, dann gilt:
=> f(x)= │x│+1 = │y-1│+1 = y+1+1 = y
Die Betragstriche entfallen bei │y-1│, weil y≥1 und somit y-1≥0 ist.
Und damit ist die Annahme widerlegt und die Surjektivität ist bewiesen.
Sorry, ein Tippfehler hat sich ausgerechnet an der wichtigsten Stelle eingeschlichen.
Richtig ist:
=> f(x)= │x│+1 = │y-1│+1 = y-1+1 = y