Beweis Injektivität, Surjektivität bei natürlichen Zahlen
Hallo! Ich hab die Aufgabe zu beweisen, dass die lineare Funktion f: IR->iR mit f(x)=7x-4 injektiv und surjektiv ist.
Das hab ich hinbekommen und ist nicht meine Frage. Mein Frage ist, was ändert sich, wenn es ich es bei f: IN -> IN für die gleiche Funktion beweisen soll?
Ist es dann immer noch injektiv und surjektiv? Und wenn, wie beweise, bzw. widerlege ich das?
2 Antworten
Injektiv bedeutet ja, dass verschiedene Eingangswerte auch auf verschiedene Ausgangswerte abgebildet werden - daran ändert sich nix, wenn du Definitions- und Wertebereich einschränkst.
Surjektiv bedeutet, dass jeder Punkt der auch erreicht wird. Und das ist nicht mehr selbstverständlich. Wenn du also ein Gegenbeispiel findest, also ein y aus |N für das es kein x aus |N gibt mit f(x) = y, dann hast du bewiesen, dass die Funktion nicht surjektiv ist. Sei also y= 0,
d. h. 7x -4 = 0. Dann müsste x = 4/7 sein - das liegt aber nicht in |N - qed.
Den ersten Teil kannst du natürlich auf formal aufschreiben. f injektiv heisst:
f(x) = f(y) => x=y.
Seien x, y aus IN und f(x) = f(y). Dann ist
7x - 4 = 7y - 4 => 7x = 7y => x = y. Du siehst, dass du diesen Beweis genauso mit IR hättest führen können - da ändert sich nix.
Ja, das stimmt. Nehmen wir Z statt dessen, dann passt es wieder.
Gegenbeispiel Surjektivität: Für kein n aus N wird der Funktionswert 1 aus N angenommen.
Die Funktion ist injektiv, das kannst du wie bei R beweisen.
Gute Antwort, aber bitte nicht y=0 wählen, da die 0 hier offenbar nicht in N ist, denn bei x=0 -> y=-4 nicht aus N -> N={1,2,..}