Beweis Injektivität, Surjektivität bei natürlichen Zahlen

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Injektiv bedeutet ja, dass verschiedene Eingangswerte auch auf verschiedene Ausgangswerte abgebildet werden - daran ändert sich nix, wenn du Definitions- und Wertebereich einschränkst.

Surjektiv bedeutet, dass jeder Punkt der auch erreicht wird. Und das ist nicht mehr selbstverständlich. Wenn du also ein Gegenbeispiel findest, also ein y aus |N für das es kein x aus |N gibt mit f(x) = y, dann hast du bewiesen, dass die Funktion nicht surjektiv ist. Sei also y= 0,

d. h. 7x -4 = 0. Dann müsste x = 4/7 sein - das liegt aber nicht in |N - qed.

 

Woher ich das weiß:Studium / Ausbildung – Dipl.-Math. :-)

FataMorgana2010  03.05.2011, 09:32

Den ersten Teil kannst du natürlich auf formal aufschreiben. f injektiv heisst:

f(x) = f(y) => x=y.

Seien x, y aus IN und f(x) = f(y). Dann ist

7x - 4 = 7y - 4 => 7x = 7y => x = y. Du siehst, dass du diesen Beweis genauso mit IR hättest führen können - da ändert sich nix.

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pekole  03.05.2011, 09:34

Gute Antwort, aber bitte nicht y=0 wählen, da die 0 hier offenbar nicht in N ist, denn bei x=0 -> y=-4 nicht aus N -> N={1,2,..}

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Gegenbeispiel Surjektivität: Für kein n aus N wird der Funktionswert 1 aus N angenommen.

Die Funktion ist injektiv, das kannst du wie bei R beweisen.