Ist die Funktion: "Cos(2piX)" injektiv oder surjektiv??
Ich habe folgendes Problem, aber ich verstehe nicht, wie ich die Injeltivität btw. Subjektivität dieser Funktion beweisen kann.
F(x) = cos(2pix)
2 Antworten
Ich nehme mal an, dass Definitions- und Zielmenge beide IR sind.
f: IR → IR : x ↦ cos(2πx)
Bei einer injektiven Funktion muss für alle definierten Werte gelten:
f(a) = f(b) ⇒ a = b
Das heißt, dass aus einer Gleichheit der Funktionswerte automatisch auch die Gleichheit der x-Werte folgt. Somit liegen graphisch betrachtet keine zwei x-Werte nebeneinander.
Das gilt beim Kosinus allerdings nicht. In dem Falle mit der Amplitude 1 gibt es unendlich x-Werte, für die f(x) = 1 ist - ergo ist die Funktion nicht injektiv.
Formal: f(0) = f(1) = 1, also f(a) = f(b) mit a ≠ b, somit liegt keine Injektivität vor.
Die Surjektivität ist jetzt auch kein Problem mehr. Ist eine Funktion surjektiv, besitzt sie für jeden (!) y-Wert mindestens einen x-Wert.
Das ist hier nicht der Fall, da die Wertemenge von -1 bis 1 geht - einen Wert x, für den gilt, dass f(x) = 5, gibt es beispielsweise nicht (nicht jedem y-Wert ist ein x-Wert zugeordnet).
Also ist f hier weder injektiv, noch surjektiv (und bijektiv sowieso nicht).
LG
Das stimmt natürlich, da habe ich nicht aufgepasst, danke Dir. Ich hab's geändert.
Du solltest Definitions- und Zielbereich angeben. Nur aufgrund der Funktionsgleichung alleine, kann man das nicht beurteilen, da dadurch noch keine Funktion definiert ist.
Es tut mir sehr Leid, bin ein bisschen abgelenkt.
Hauptsache:
Definitionsbereich: f: R--->R
Also, alle die realen Zählen.
Danke sehr im voraus.
Naja, für jede reelle Zahl x ist -1 ≤ cos(2π x) ≤ 1.
Demnach ist die Funktion nicht surjektiv, da beispielsweise die reelle Zahl 2 im Zielbereich liegt, jedoch nicht im Bild der Funktion.
Die Funktion ist nicht injektiv. Beispielsweise hat die Funktion an den Stellen 0 und 1 den gleichen Funktionswert, obwohl 0 ungleich 1 ist:
cos(2π * 0) = cos(0) = 1 = cos(2π) = cos(2π * 1)
Das stimmt so nicht. Es gilt:
Ist eine Funktion f surjektiv, besitzt sie für jeden y-Wert (aus dem Zielbereich) mindestens einen x-Wert (aus dem Definitionsbereich), so dass f(x) = y ist.
Edit: Nach Änderung ist dieser Kommentar nicht mehr relevant.