Ist die Funktion: "Cos(2piX)" injektiv oder surjektiv??

2 Antworten

Ich nehme mal an, dass Definitions- und Zielmenge beide IR sind.

f: IR → IR : x ↦ cos(2πx)

Bei einer injektiven Funktion muss für alle definierten Werte gelten:
f(a) = f(b) ⇒ a = b

Das heißt, dass aus einer Gleichheit der Funktionswerte automatisch auch die Gleichheit der x-Werte folgt. Somit liegen graphisch betrachtet keine zwei x-Werte nebeneinander.

Das gilt beim Kosinus allerdings nicht. In dem Falle mit der Amplitude 1 gibt es unendlich x-Werte, für die f(x) = 1 ist - ergo ist die Funktion nicht injektiv.

Formal: f(0) = f(1) = 1, also f(a) = f(b) mit a ≠ b, somit liegt keine Injektivität vor.

Die Surjektivität ist jetzt auch kein Problem mehr. Ist eine Funktion surjektiv, besitzt sie für jeden (!) y-Wert mindestens einen x-Wert. 

Das ist hier nicht der Fall, da die Wertemenge von -1 bis 1 geht - einen Wert x, für den gilt, dass f(x) = 5, gibt es beispielsweise nicht (nicht jedem y-Wert ist ein x-Wert zugeordnet).

Also ist f hier weder injektiv, noch surjektiv (und bijektiv sowieso nicht).

LG

Ist eine Funktion surjektiv, besitzt sie für jeden (!) y-Wert genau einen x-Wert.

Das stimmt so nicht. Es gilt:

Ist eine Funktion f surjektiv, besitzt sie für jeden y-Wert (aus dem Zielbereich) mindestens einen x-Wert (aus dem Definitionsbereich), so dass f(x) = y ist.

Edit: Nach Änderung ist dieser Kommentar nicht mehr relevant.

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@mihisu

Das stimmt natürlich, da habe ich nicht aufgepasst, danke Dir. Ich hab's geändert.

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Du solltest Definitions- und Zielbereich angeben. Nur aufgrund der Funktionsgleichung alleine, kann man das nicht beurteilen, da dadurch noch keine Funktion definiert ist.

Es tut mir sehr Leid, bin ein bisschen abgelenkt.

Hauptsache:

Definitionsbereich: f: R--->R 

Also, alle die realen Zählen.

Danke sehr im voraus.

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@AFGZB

Naja, für jede reelle Zahl x ist -1 ≤ cos(2π x) ≤ 1.
Demnach ist die Funktion nicht surjektiv, da beispielsweise die reelle Zahl 2 im Zielbereich liegt, jedoch nicht im Bild der Funktion.

Die Funktion ist nicht injektiv. Beispielsweise hat die Funktion an den Stellen 0 und 1 den gleichen Funktionswert, obwohl 0 ungleich 1 ist:
cos(2π * 0) = cos(0) = 1 = cos(2π) = cos(2π * 1)

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kleine hilfe bei trigonometrischer sachaufgabe?

hi,

könnte mir bitte jemand kurz helfen, diese aufgabe zu lösen?

"Eine Kugel hängt an einer Schraubenfeder. Aus dieser Gleichgewichtslage wird sie vorsichtig angehoben (oberer Umkehrpunkt) und dann losgelassen. Die anschließende Bewegung wird durch die Zeit-Weg-Funktion s(t) = 8*cos(t) (s in cm, t in s) beschrieben."

"b) Nach welcher Zeitspanne befindet sich die Kugel im unteren Umkehrpunkt, wann wieder im oberen? Weisen Sie nach, dass die Kugel dort jeweils die Momentangeschwindigkeit null hat."

bei der b) habe ich folgendes gerechnet:

-8 = 8*cos(t) | /8

-1 = cos(t) | arccos } unterer umkehrpunkt

3,14 = t

8 = -8*cos(t) | /-8

-1 = cos(t) | arccos } oberer umkehrpunkt

3,14 = t

mir erscheinen für 3,14s 16cm ziemlich lang. ich meine, so lange braucht doch bestimmt keine kugel um 16cm zu fallen, oder doch??? und 3,14s für 16cm wieder nach oben, erscheint mir noch unrealistischer.

und dass die momentangeschwindigkeit oben und unten null beträgt, weiß ich schon, weil es ja nullstellen sind. nur weiß ich nicht, wie man das zeigen soll, ob rechnerisch, oder nur aufschreiben, etc.

"c) Wann erreicht die Kugel erstmals nach dem Loslassen die Gleichgewichtslage? Welche Geschwindigkeit hat sie beim Durchgang durch die Gleichgewichtslage?"

für die gleichgewichtslage habe ich folgendes ausgerechnet:

0 = 8*cos(t) | /8

0 = cos(t) | arccos

1,57 = t

bei der anderen frage weiß ich leider nicht, wie ich die geschwindigkeit berechnen soll. ich denke, es hat aber was mit ableiten zu tun.

ich hoffe ihr helft mir :)

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Hallo zusammen, ich bin Erstsemester und habe bei folgender Erklärung Verständnisschwierigkeiten. Wenn ich Injektivität nachweisen soll, dann muss ich ja zeigen, dass x1=x2 gilt. Soweit so gut. Habe ich aber eine Funktion f(x)=x^2, die ja bekanntlich injektiv ist und setze x1^2 mit x2^2 gleich, dann komme ich doch auch auf x1=x2 ??? Dann hätte ich ja die Injektivität nachgewiesen, obwohl sie gar nicht existiert??? Und was ich mit der Surjaktivität anfangen kann, weiß ich auch nicht. Da kommt doch auch immer, wenn ich die Umkehrfunktion bilde y heraus, ganz egal, ob sie surjektiv ist oder nicht. BSP.: f(x)=2x+1 ist ja surjektiv. Also: f(y/2-1/2)=y Nehme ich aber wieder f(x)=x^2, die für R-->R nicht surjektiv ist, dann kommt doch da raus: f(Wurzel(y)=y Was ist da der Unterschied? Danke im Voraus

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