Wie Beweise ich das f injektiv ist wenn gof injektiv ist?

f: A->B g: B->A

zu Zeigen: gof injektiv -> f injektiv

Annahme: gof injektiv <==> gof(x) = gof(y) => x = y

z.Z f(x) = f(y) => x = y

Hallo Leute,

ich muss beweisen wenn die Komposition gof injektiv ist, muss auch bedeuten das f injektiv ist. Ich weiß was injektiv heißt, doch macht für mich der Beweis keinen Sinn. Kann mir den jemand bitte genau erklären

Bitte auch gof surjektiv -> g surjektiv erklären

danke LG

Answer 1

[eterneladam]

Sei f(x) = f(y).

Dann ist g(f(x)) = g(f(y))

Nach Voraussetzung ist dann x = y.

Also ist f injektiv.

Answer 2

[LUKEars]

injektiv

nehmen wir an, dass für x ungleich y also f(x)=f(y) ist...

wie soll g(f(x)) dann also noch ungleich g(f(y)) sein können?

surjektiv

gof(A) ist also ganz A...

sagen wir f(A)=C wobei C eine (u. U. echte) Teilmenge von B ist...

dann ist also g(C)=A

also ist auch g(B)=A

oder?

Woher ich das weiß: Studium / Ausbildung – Absolvent/Universität

Answer 3

[LoverOfPi]

Okay, also wir haben:

$f:\ A\ \rightarrow\ B,\ g:\ B\ \rightarrow\ A$ Wir sollen zeigen:

$g\ ∘\ f\ \text{injektiv}\ ⇒\ f\ \text{injektiv}\ .$

Wir wissen also bereits, dass die Verknüpfung injektiv ist. Das heißt übersetzt:

$\text{Angenommen}\ \left(g\ \circ\ f\right)\left(x\right)=g\ \circ\ f\ \left(y\right),\ \text{dann}\ \text{gilt}\ \text{schon}\ x=y.$ (Ups, Klammern um g ∘ f vergessen!)

Das ist aber äquivalent zu:

$g\left(f\left(x\right)\right)=g\left(f\left(y\right)\right)\ \Leftrightarrow\ x=y.$

Angenommen f wäre nun nicht injektiv. Das heißt:

$\exists\ x,y\in A\ \text{für die gilt: }f\left(x\right)=f\left(y\right)\ \text{mit}\ x\ne y.\$ Dann gilt aber auch:

$g\left(f\left(x\right)\right)=g\left(f\left(y\right)\right),\ \text{da ja }f\left(x\right)=f\left(y\right),\ \text{aber dies impliziert wie oben schon}\ x=y$ Das ist ein Widerspruch. Damit ist f injektiv.

Woher ich das weiß: Studium / Ausbildung – Ich studiere Mathematik im vierten Semester.