Kreuzprodukt Abbildungen (Surjektiv/Injektiv)?

 - (Mathematik, Physik, Informatik)

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Hallo,

ich tue mich sehr schwer in Abbildungen mit Kreuzprodukt, wo man genau zeigen soll, ob zwei Mengen surjektiv oder injektiv sind.

Vorsicht, nicht Mengen sind injektiv oder surjektiv, sondern Abbildungen.

Die Vorgehensweise ist immer gleich .

Bei "injektiv" schaut man, ob zwei verschiedene Elemente der Definitionsmenge (der Startmenge) unter der Abbildung auch verschieden ankommen.

Bei "surjektiv" schaut man, ob jedes Element der Menge, wo die Abbildung hin abbildet, auch erreicht wird.

Nochmal zum ersten Beispiel, das Osteinbecker behandelt hat.

Er sagt, dass f im 1. Beispiel nicht injektiv ist.
Um das zu zeigen, genügt es eines einzigen Gegenbeispiels.

Er nimmt zwei verschiedene Elemente aus ℚxℚ, und zwar (-1,-1) und (1,1).

Aber Q ist doch rationale Zahlen

-1 und 1 sind ja rationale Zahlen. Das ist also kein Problem.
ℤ ist eine Teilmenge von ℚ !

Es gilt

f((-1,-1)) = ((-1)², -1-(-1)) = (1, -1+1) = (1,0) ∈ ℚxℚ

f((1,1)) = (1², 1-1) = (1,0) ∈ ℚxℚ

Zwei verschiedene Elemente aus ℚxℚ haben also das gleiche Bild.
Dieses eine Beispiel genügt, um die Injektivität von f zu widerlegen.

Nun zur Surjektivität.

Es gilt f((x,y)) = (x², x-y)

Durch das x² an der ersten Stelle des Tupels sieht man schon, dass dort keine negativen Zahlen auftreten können. Z.B. gibt es kein (x,y) ∈ ℚxℚ, das durch f
auf (-5, a) (a beliebig aus ℚ) abgebildet werden kann. Also kann f nicht surjektiv sein.

Zweites Beispiel

Die Startmenge ist ℤ, die Zielmenge ℤxℤ.

f : x -> (x², x³)

Ist f injektiv? Man könnte meinen, dass f nicht injektiv ist wegen des Quadrats in der ersten Komponente ( (-1) und 1 haben unter f in der ersten Komponente das gleiche Bild, aber nicht in der zweiten:

f(-1) = ( (-1)², (-1)³) = (1, -1)

f(1) = (1², 1³) = (1, 1) (1, -1) = f(-1)

Für a, b ∈ ℤ, a ≠ b folgt zwar nicht a² ≠ b² , aber a³ ≠ b³ , d.h.

die erste Komponente des Bildes kann unter f gleich ankommen, aber die zweite nicht. f ist also injektiv.

Zur Surjektivität: kann jedes Tupel (a, b) ∈ ℤxℤ Bild von f sein?

Nein, denn die erste Komponente des Bildes von f kann nicht negativ sein.
Die negativen ganzen Zahlen werden in der ersten Komponente nicht erreicht.

Beispiel: es gibt kein a ∈ ℤ, dass auf (-5, 5) abgebildet wird.

(Übrigens können auch Paare vom Typ (a, a) ∈ ℤxℤ auch nicht Bild von f sein, denn dann müsste a² = a³ für alle a ∈ ℤ gelten. Das ist ein weiterer Grund, aus dem f nicht surjektiv sein kann.)

Versuche nun mal, ob du mit den anderen Aufgaben zurecht kommst und frage, wenn du nicht weiter kommst.

Gruß

Einfach Bedingungen für Injektivität und Surjektivität testen:

Wir machen das erste mal als Beispiel:

x^2 ist für alle x aus Q positiv, nimmt also folglich alle negativen Elemente aus Q niemals an --> nicht surjektiv.

Injektiv ist die Abbildung auch nicht. Das zeigen wir mit einem Gegenbeispiel, wo es für ein Bild der Zielmenge (mindestens) 2 Urbilder gibt. So gilt:

(-1,-1) -> (1,0) und (1,1) -> (1,0). Das Bild (1,0) hat also mehrer Urbilder --> nicht injektiv.

Woher ich das weiß:Studium / Ausbildung

Aber Q ist doch rationale Zahlen

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