Man kann den Satz so deuten und inhaltlich ergibt das so sicherlich am meisten Sinn.
Vom Wortlaut her würde ich allerdings erst einmal nur folgende Version herauslesen:
Es gibt mehr als eine richtige Dreiecksform, die man aus einem LGS bilden kann. Insofern hilft dir das beim Vergleichen nicht so wirklich.
Wenn du deine endgültige Lösung vergleichen willst, kannst du einfach das LGS in einen Online-Rechner eingeben und schauen, ob da dasselbe bei herauskommt. Zum Beispiel hier:
https://www.arndt-bruenner.de/mathe/scripts/gleichungssysteme.htm
Beachte beim obigen Rechner, dass er "x1" als Variablennamen nicht akzeptiert, weil das eine Kombination aus Zahl und Buchstabe ist. Du müsstest ihn also in z.B. "a" umbenennen.
Mengentheoretisch wird die Zahl 0 meist als die leere Menge definiert. Die Existenz der leeren Menge wiederum wird axiomatisch angenommen. Man kann das Axiom für weitere Betrachtungen als "wahr" betrachten oder nicht, das bleibt jedem selbst überlassen.
Wenn man nicht axiomatisch festlegt, dass irgendetwas existiert, ist es allerdings denkbar, dass jede weitere mathematische Theorie nur ein Luftschloss ist und es in Wahrheit überhaupt keine Objekte gibt. Also auch keine 1, keine 2 usw.
Insofern sehe ich keinen Grund, die Existenz der leeren Menge abzulehnen.
Abnehmen tust du durch ein Kaloriendefizit. Sprich: Du musst weniger Kalorien zu dir nehmen, als dein Körper verbraucht.
Daher Tipp 1: Ermittle ungefähr deinen täglichen Kalorienbedarf. Das ist dein Grundbedarf plus das, was du durch tägliche Aktionen verbrauchst - das hängt z.B. davon ab, ob deine Arbeit körperlich anstrengend ist, wie viel du dich neben der Arbeit bewegst etc. Benutze einen Kalorienrechner, um eine grobe Vorstellung von deinem täglichen Bedarf zu bekommen.
Schau dir dann mal an, wie viele Kalorien die Gerichte haben, die du so täglich zu dir nimmst. Beim Imbiss steht das vermutlich nicht dabei, aber du kannst mal googlen in welchem Bereich typischerweise die Kalorien von Currywurst + Pommes (oder was auch immer) liegen.
Vergiss nicht, auch Süßigkeiten und Snacks und Getränke einzubeziehen. Das allein sollte dir bereits einen Hinweis geben, bei welchem Teil der Ernährung du Kalorien sparen kannst. Damit kommen wir zum nächsten Tipp:
Tipp 2: Ernährung umstellen! Imbiss/Bäcker/Bestellen [je nachdem was du da kaufst natürlich] sind potentiell echte Kalorienbomben. Kraftsport ist nett und alles, aber wenn du einfach zu viel isst, kriegst du das dadurch nicht realistisch ausgeglichen.
Du könntest z.B. in den Pausen nicht zum Imbiss gehen, sondern dir etwas gesünderes von zuhause mitnehmen. Oder, falls die Vorbereitung zeitlich nicht möglich ist, zumindest eine kleinere Portion nehmen oder etwas gesünderes aussuchen als sonst - selbst wenn's nicht so gut schmeckt. Möglichst auch auf gezuckerte Getränke verzichten. Wenn du Koffein brauchst, am besten Kaffee schwarz statt Milchkaffee, Cappuccino oder gar Cola/Energy Drinks. Kalorien aus Getränken sind meist unnötig und machen Lust auf noch mehr Kalorien aus Getränken ;)
Für zuhause: wenn du keine Kraft für eine große Vorbereitung zum Kochen hast, kannst du zumindest leichte Tiefkühlkost probieren - z.B. Gerichte von Frosta sind oft ganz gut, was das angeht.
Beachte bei der Diät aber, dass du trotzdem noch deine Nährstoffe brauchst.
Wenn du dich nicht vor Kalorien zählen scheust: Stell dir einen möglichst einfachen Diätplan zusammen, mit dem du etwas unter deinem Bedarf bleibst (vllt ein Defizit von 500 kcal?) und zieh den dann hart durch: Keine zusätzlichen Naschereien, nichts.
Tipp 3: Wenn Kraftsport im Studio zu stressig ist, kannst du es mal zuhause probieren? Ich weiß nicht, wie trainiert du bist, aber mit einem Paar von anpassbaren Kurzhanteln kannst du es ziemlich weit bringen - aktuell ist dein Ziel ohnehin nicht wirklich, Muskeln aufzubauen sondern eher Muskeln zu erhalten bzw nicht zu stark abzubauen. Mit 2-3 mal Ganzkörpertraining pro Woche und eiweißreicher Ernährung sollte das machbar sein. Allemal besser als wenn man sich nicht zum Studio aufraffen kann und dann gar nichts macht.
Tipp 4: Falls du über Kardio nachdenkst: Einfach gehen (vllt 8000-12000 Schritte pro Tag?), auch an Tagen ohne Training, ist exzellent. Diese Schritte musst du auch nicht alle auf einmal machen - Schritte auf der Arbeit zählen da rein, genauso wie der Gang vom Bett zum Klo ;)
Tipp 5: Schlafen! Wer abnehmen will (und auch jeder andere), sollte einen gesunden Schlaf anstreben. Ich nehme an, dass du einen geregelten Schlafrhythmus hast, aber wenn du regelmäßig zu wenig oder nicht gut schläfst, schadet das deinem gesamten Fortschritt [nicht nur beim Abnehmen, auch z.B. bei der Muskelregeneration]. Wenn du nur 5h Schlaf kriegst, weil du vorm Schlafengehen regelmäßig Netflix-Serien binge-watchst: Lass es. Stell dir notfalls einen Wecker, um dich an die Bett-Zeit zu erinnern.
Aber ich weiß nicht,wie man für Punkt (500/200) die erste und zweite Ableitung rechnen kann, ohne die Funktion zu haben (nur allgemeine Funktion 5.Grades)
Die Krümmung einer Geraden ist immer 0 [das bemerkst du leicht, wenn du die allgemeine Geradengleichung g(x) = mx + n zweimal ableitest].
Wenn du den Winkel der Geraden zur x-Achse gegeben hast [wie in diesem Fall], kannst du die Steigung mithilfe des Tangens ermitteln. Male dir hier für die Anschauung ein Steigungsdreieck ein, falls notwendig.
Jetzt will ich wissen, was die Steigung von Punkt (1/2) ist, da ich unsicher bin.
Wenn ich raten müsste, ist die Steigung 3/4. Aber beachte, dass du die Straßen weder knickfrei noch krümmungsruckfrei verbinden musst - du könntest also auch eine Funktion niedrigeren Grades in Betracht ziehen [du sollst ja eh mehrere Lösungen miteinander vergleichen].
Diese Schreibweise beim Komplement und beim Intervall ist gewissermaßen die "gängigste" Schreibweise [spart man sich ein paar Symbole bei und es passiert quasi nie, dass das falsch verstanden werden kann]. Sei P eine Aussageform, die für jedes Element einer Menge M definiert ist. Dann liest sich der Ausdruck
als: "Die Menge aller x aus M, für die gilt: P(x)". Man könnte ihn definieren durch
Also ist A\B gerade die Menge aller x aus A, für die gilt: x ist kein Element von B.
Bei der Vereinigung kannst du das nicht so aufschreiben, weil wir für A und B a priori keine gemeinsame Obermenge kennen [die definieren wir ja gerade erst] - und ich denke er hat dann den Durchschnitt auch einfach analog aufgeschrieben, weil die formal ähnlich sind. Ich selbst hätte statt dem Semikolon tatsächlich auch den Strich benutzt, aber das macht keinen Unterschied:
Deine Lösungen sind auf jeden Fall auch richtig!
Eine Folge ist eigentlich nur eine Funktion, die als Definitionsbereich die Menge der natürlichen Zahlen besitzt. Die Folge gegeben durch
ist somit eigentlich die Abbildung
und wir könnten dann genausogut schreiben
Das n ist somit die Funktionsvariable. Hier hätten wir also
Das auf der rechten Seite ist wie gewohnt der Funktionswert an der Stelle 1, bei Folgen auch häufig der Folgenwert für n = 1 genannt.
Möglich sollte das schon sein (zur Sicherheit einfach mal die Studienberatung fragen).
Ob es ratsam ist hängt davon ab, wie vertraut du wirklich damit bist. Man hat im Mathestudium anfangs typischerweise tatsächlich weniger Vorlesungen als später, aber am Anfang muss man auch mehr lernen als nur den reinen Stoff: Man muss lernen, mathematisch zu denken und formal sauber zu arbeiten, und man muss sich daran gewöhnen, dass eben nicht alle Aufgaben nach Schema F gelöst werden können.
In späteren Semestern hat man das dann mehr oder weniger drauf, aber Anfänger strugglen damit oft ziemlich hart, weil sich das von der Arbeitsweise in der Schule grundlegend unterscheidet.
Wenn du dir das zutraust, kannst du natürlich versuchen, parallel eine zusätzliche Vorlesung aus dem zweiten Semester anzufangen - pass dann nur auf, dass die nicht auf einer der Anfängervorlesungen aufbaut, denn den Stoff kennst du ja noch nicht komplett ;) Sollte dir dann später auffallen, dass dir das doch zu viel wird, kannst du die zusätzliche Vorlesung immer noch droppen.
Wie ist eure Erfahrung der stumpfen Modulbelegempfehlung nachzugehen?
Da ich selbst mich nicht dran gehalten habe, hab ich auch keine Erfahrung damit... Ich hab z.B. Veranstaltungen aus dem 3. Semester ins 2. und 5. verschoben, die zur Bachelorarbeit gehörigen Module im 4. statt im 6. Semester gemacht, mein Praktikum viel zu lange vor mir hergeschoben und deswegen im Bachelor schonmal parallel zum Praktikum Master-Module belegt... also etwas chaotisch 😅 Am Ende des Tages musst du selbst entscheiden, wie es für dich am besten passt, halt nur jeweils auf die Voraussetzungen der Module achten.
Kosten-Nutzen-Verhältnis.
Will ich also wirklich die Zeit meiner Schüler verschwenden, indem ich sie eine relativ selten anwendbare, viel zu lange Formel auswendig lernen lasse - zumal heute jeder solche Gleichungen mit seinem Handy lösen kann? Stumpfes Auswendiglernen in der Mathematik ist eh nicht super zielführend, ich könnte in derselben Zeit lieber daran arbeiten, das Verständnis für ein Thema zu vertiefen.
Schritt 1: Schnittstellen berechnen, indem du f(x) = g(x) setzt und die Gleichung nach x auflöst.
Schritt 2: Die Differenzfunktion f(x) - g(x) zwischen je zwei benachbarten Schnittstellen integrieren und die Beträge der Ergebnisse alle aufaddieren.
Da müssen wir mal ein bisschen aufräumen... Um mit dem Pumping-Lemma zu zeigen, dass eine Sprache nicht regulär ist, machst du folgendes:
Sei n beliebig, aber fest [d.h. n ist eine Zahl, die du dir aber nicht aussuchen darfst - du musst den Beweis für ein ganz allgemeines n durchführen].
Du musst jetzt ein Wort w mit |w| ≥ n konstruieren, das in der Sprache liegt, bei dem aber kein Teilwort aus den ersten n Zeichen von w beliebig "aufgeblasen" werden kann, ohne dass das Ergebnis irgendwann die Sprache verlässt.
Klassisches Beispiel: L = {a^kb^k | k > 0}.
Wenn n eine beliebige Zahl ist, können wir w := a^nb^n wählen.
Offenbar gilt |w| = 2n ≥ n, d.h. unsere erste Bedingung ist schonmal erfüllt. Und wir können kein Teilwort der ersten n Zeichen beliebig aufblasen, ohne die Sprache zu verlassen: Die ersten n Zeichen bestehen nur aus a's. D.h. wenn wir irgendein nicht-triviales Teilwort daraus aufblasen, ändern wir die Anzahl der a's, nicht aber die Anzahl der b's. D.h. das Resultat wird a^mb^n sein, wobei m und n voneinander verschieden sind. Damit liegt das Resultat nicht mehr in L.
Soviel zur Idee. Der Formalismus von "Kein Teilwort der ersten n Zeichen kann beliebig aufgeblasen werden" ist nun eben dieser Kram mit der Zerlegung. Hier also die Argumentation nochmal in formaler:
Wenn w = xyz mit n ≥ |xy| und |y| > 0 ist, so besteht xy nur aus a's. Insbesondere existieren Zahlen k und j mit x = a^k und y = a^j und n ≥ k + j und j > 0. Ferner muss z "der Rest" des Wortes sein, also z = a^(n - k - j)b^n.
Jetzt blasen wir das Teilwort y auf. Formal heißt das, dass wir y in dem Wort durch y², y³ usw. ersetzen und schauen, ob wir irgendwann L verlassen (y^0 geht oft auch). D.h. wir untersuchen xz, xy²z, xy³z usw und hoffen, dass irgendwann ein Wort herauskommt, das nicht in der Sprache liegt.
Und in der Tat: Ersetzen wir y mit y^0, so erhalten wir das neue Wort
w' = xz
= a^k z
= a^k a^(n - k - j) b^n
= a^(n-j)b^n.
Weil j > 0 ist, ist n-j < n und somit liegt das Wort nicht in L, da die Anzahl der a's und der b's verschieden ist.
Nun zu deiner Aufgabe:
L_1 ist regulär, d.h. da kannst du es dir sparen das Pumping Lemma zu verwenden.
Bei L_2 hingegen kannst du dich durchaus mal selbst an einem Pumping-Lemma-Beweis probieren ;)
Wenn das stimmt, müsstest du erwarten, mit jedem zweiten fremden Jungen Sex zu haben.
Frag ihn mal, ob er dieser Argumentation zustimmen würde:
"Ich gehe ein Los für die Lotterie kaufen. Entweder ich gewinne den Jackpot oder nicht. Damit ist die Wahrscheinlichkeit auf den Jackpot 50%."
Lösungsweg: Nutz halt die Rechenregeln, um die ganzen Klammern aufzulösen.
Bsp: (ab)' = a' + b' [DeMorgan].
Dann kannst du die ersten beiden Klammern ausmultiplizieren [Distributivgesetz], dabei fallen dann ein paar Terme weg wie z.B. aa' = 0.
Zur Kontrolle: Ich komme letztendlich auf f(a,b,c) = ab'.
Produktregel:
Wenn f(x) = u(x) * v(x) ist, dann gilt:
f '(x) = u '(x) * v(x) + u(x) * v '(x).
Diese Formel kannst du nutzen, indem du deine Funktion f als Produkt zweier Funktionen u und v interpretierst:
u(x) = √x
v(x) = (x² - 1).
Nun kannst du u '(x) und v '(x) ermitteln und dann alles in die Formel einsetzen.
Die Chance "m zu n" (oft auch "m:n" geschrieben) bedeutet, dass das (erwartete) Verhältnis zwischen Erfolgen und Misserfolgen gerade m/n beträgt.
In unserem Beispiel ist der "Erfolg" (etwas zynisch) das Ereignis, dass man die Kammer mit der Kugel drin erwischt. Spielen wir das Spiel 12 mal, so erwarten wir dass exakt zweimal der Erfolg eintritt. Insbesondere tritt 10 mal der Misserfolg ein, weswegen das Verhältnis dann 2/10 = 1/5 ist - ergo ist die Chance gerade 1 zu 5.
Die Wahrscheinlichkeit ist das (erwartete) Verhältnis zwischen der Anzahl der Erfolge und der Gesamtanzahl der Versuche. Dies ist in unserem Beispiel 2/12 = 1/6. Manchmal sagen wir "1 aus 6" oder "1 in 6".
Dass Chance nicht einfach gleich Wahrscheinlichkeit sein kann, sollte man sich schon dadurch klarmachen können, dass eine Chance durchaus größer als 1 sein kann: Die Chancen, dass ich mit meinem fairen 6-seitigen Würfel keine 1 würfle, stehen 5 : 1. Eine Wahrscheinlichkeit von 5 ergibt allerdings keinen Sinn.
Ehrlich gesagt würde ich den Begriff "Chance" möglichst vermeiden, das führt meiner Erfahrung häufig zu Verwirrungen, wie wir hier sehen.
Tatsächlich ist dein Problem sogar etwas komplizierter, als du es beschreibst: Wahrscheinlich möchtest du gerne ein faires Turnier haben. Da es aber bei euren Regeln einfacher ist, in einem Spiel mit 2 Spielern Punkte zu holen als in einem Spiel mit 4 Spielern, muss zusätzlich gewährleistet sein, dass jeder dieselbe Anzahl an 2er-Spielen macht (analog bei 3er- und 4er-Spielen).
Bei 9 Spielern:
In diesem Setup spielt man exakt einmal gegen jeden Spieler und alle Spiele haben dieselbe Spieleranzahl.
Bei 8 Spielern:
Nutze die 9-Spieler-Lösung und entferne einfach Spieler 9. Das sorgt dafür, dass jeder Spieler exakt ein 2er-Spiel hat und erneut jeder gegen jeden exakt einmal spielt.
Ich hab das Gefühl bei 7 Spielern hast du einfach verloren und brauchst mindestens 7 Runden - ich kann's aber nicht exakt beweisen und lasse mich gerne eines Besseren belehren. Du kannst jedenfalls nicht die 8-Spieler-Lösung nutzen und einen Spieler entfernen, weil es sonst ein Spieler bedeutsam schwerer hat, an Punkte zu kommen [er hätte weniger Spiele und zusätzlich nur 3er-Spiele, wohingegen jeder andere exakt ein 2er-Spiel hat].
Es fällt mir auch super schwer, die Lösung auf beliebige Spieleranzahlen zu verallgemeinern - es fühlt sich irgendwie so an als gäbe es einen algebraischen Ansatz in Richtung Permutationsgruppe/Zykelzerlegungen, aber mir fällt nichts cleveres ein.
Tut mir Leid dass ich dir nicht vollumfänglich weiterhelfen kann.
Vielleicht haben die anderen Mathe-Experten auf dieser Seite ja coole Ideen :)
Deine Lösungen für 10 passen so.
Bei 9c) kommt zwar die richtige Lösungsmenge heraus, aber du hast ignoriert, dass die Koeffizienten deiner Gleichungen nie 0 sein dürfen. Z.B. bei deiner dritten Gleichung verstößt du dagegen:
0 * x1 + 0 * x2 + 1 * x3 = 2.
Hier eine grobe Beweisskizze, die einzelnen Punkte musst du natürlich zeigen: