Vektorräume, die nicht isometrisch sind?
Die Räume c_0 und c sind nicht isometrisch. Hinweis: Ich soll die Folge (1,1,1,1,…) betrachten.
Ich komme nicht weiter. Meine Idee war es anzunehmen, dass sie isometrisch sind.
Dann gibt es einen isometrischen Isomorphismus T : c —> c_0.
Ist x = (1,1,…) mit ||x|| = 1, so gilt auch ||Tx|| = 1, wobei Tx wegen der Bijektivität existiert. Es gilt auch Tx_n —> 0. Wie geht es aber weiter, also wie kriege ich einen Widerspruch?
1 Antwort
Hier eine grobe Beweisskizze, die einzelnen Punkte musst du natürlich zeigen:
- Sei B der Einheitsball von c und B_0 der Einheitsball von c_0. Dann ist T(B) = B_0.
- Deine Folge x ist ein Extrempunkt von B.
- Extrempunkte von B werden auf Extrempunkte von T(B) abgebildet. Insbesondere ist Tx ein Extrempunkt von B_0.
- Aber B_0 hat gar keine Extrempunkte.