Warum gibt es genau diese vier möglichen unären logischen Verknüpfungen?

F1  ≡ A oder (Negation A)

F2  ≡ A

F3  ≡ Negation A

F4  ≡ A und (Negation A)

?

Answer 1

[mihisu]

In der Aussagenlogik gibt es zwei verschiedene Zustände („falsch“, „wahr“ bzw. 0, 1).

Bei einer unären logischen Verknüpfung hat man nur eine Eingangsvariable (hier im Beispiel mit A bezeichnet). Jeder Belegung „wahr“ und „falsch“ der Eingangsvariable, wird jeweils ein Ausgangswert zugeordnet.

• Man hat zunächst einmal zwei Möglichkeiten („wahr“, „falsch“), welchen Ausgangswert man bei einem Eingangswert von A = „wahr“ hat.
• Unabhängig davon hat man für jede dieser zwei Möglichkeiten wiederum zwei Möglichkeiten, welchen Ausgangswert man bei einem Eingangswert von A = „falsch“ hat.
• Insgesamt hat man dann 2 ⋅ 2 = 4 Möglichkeiten, nämlich...

$\begin{cases}\text{falsch} & \mapsto & \text{wahr}\\\text{wahr} & \mapsto & \text{wahr}\\\end{cases}$

$\begin{cases}\text{falsch} & \mapsto & \text{falsch}\\\text{wahr} & \mapsto & \text{wahr}\\\end{cases}$

$\begin{cases}\text{falsch} & \mapsto & \text{wahr}\\\text{wahr} & \mapsto & \text{falsch}\\\end{cases}$

$\begin{cases}\text{falsch} & \mapsto & \text{falsch}\\\text{wahr} & \mapsto & \text{falsch}\\\end{cases}$

Und diese vier Möglichkeiten entsprechen den von dir genannten Verknüpfungen. Nämlich...

$F_1(A)= \underbrace{A\vee\left(\neg A\right)}_{\text{wahr}}\text{ entspricht der Zuordnung }\begin{cases}\text{falsch} & \mapsto & \text{wahr}\\\text{wahr} & \mapsto & \text{wahr}\\\end{cases}$

$F_2(A)= A\text{ entspricht der Zuordnung }\begin{cases}\text{falsch} & \mapsto & \text{falsch}\\\text{wahr} & \mapsto & \text{wahr}\\\end{cases}$

$F_3(A)= \neg A\text{ entspricht der Zuordnung }\begin{cases}\text{falsch} & \mapsto & \text{wahr}\\\text{wahr} & \mapsto & \text{falsch}\\\end{cases}$

$F_4(A)= \underbrace{A\wedge \left(\neg A\right)}_{\text{falsch}}\text{ entspricht der Zuordnung }\begin{cases}\text{falsch} & \mapsto & \text{falsch}\\\text{wahr} & \mapsto & \text{falsch}\\\end{cases}$

============

Bzw. kann man das auch so sehen, dass die unären logischen Verknüpfungen F genau die Abbildungen F: {wahr, falsch} → {wahr, falsch} sind. Und so wie es allgemein

${\left\lvert B\right\rvert}^{\left\lvert A\right\rvert}$

verschiedene Abbildungen

$F:\ A\to B$

von einer |A|-elementigen Menge A in eine |B|-elementige Menge B gibt, gibt es im konkreten Fall

$2^2=4$

verschiedene Abbildungen

$F:\ \left\lbrace \text{wahr}, \text{falsch}\right\rbrace \to \left\lbrace \text{wahr}, \text{falsch}\right\rbrace$

von der 2-elementigen Menge {wahr, falsch} ind die 2-elementige Menge {wahr, falsch}.

So kann man also auch darauf kommen, dass es 2² = 4 mögliche unäre logische Verknüpfungen gibt. Und diese 4 Möglichkeiten sind dann konkret durch die im ersten Teil meiner Antwort genannten Zuordnungen gegeben.

Comments

[fagussylvatica]

So wie ich es nun verstanden habe hält man sich zunächst strikt an die Kombinationsmöglichkeiten. Warum ist es allerdings so, dass F4 ausgerechnet mit Konjunktion und Negation beschrieben wird, bzw. bei F1 die Disjunktion genannt wird?