Lineare Algebra, Populationaufgabe (Mathe)?

Folgende Sachaufgabe:

Betrachtet sei die Entwicklung einer Insektenpopulation, die in vier Stufen stattfindet: Eier (E), Larven 1 (L1), Larven 2 (L2) und Insekten (I). Eine Entwicklungsstufe dauert eine Woche und es gilt: 

50 % der Eier werden zu Larven 1 

20 % der Larven 1 werden zu Larven 2 

25 % der Larven 2 werden zu Insekten 

Jedes Insekt legt 50 Eier

a) Zeichnen Sie das entsprechende Flussdiagramm und geben Sie die diesen Prozess beschreibende Leslie-Matrix an! 

b) Gegeben sei eine Population, die jeweils 1000 Eier, 1000 Larven 1, 1000 Larven 2 und 1000 Insekten enthält. Wie hat sich diese Population nach zwei Wochen verändert? 

c) Beurteilen Sie, ob die Zahl der Insekten im Lauf der Zeit über alle Grenzen wächst oder die Art vom Aussterben bedroht ist! 

d)Wie viele Eier müsste ein Insekt legen, damit die Populationszahlen auf lange Sicht stabil bliebe? 

Aufgabe: e)Wir nehmen an, dass jedes Insekt unabhängig von seinem Alter eine 50%-ige Chance hat, die folgende Woche zu erleben; außerdem nehmen wir an, dass jedes Insekt in jeder Woche seines Lebens 50 Eier legt. Wie verändern sich das Flussdiagramm, die Leslie-Matrix und die Antwort darauf, wie sich eine Population nach Aufgabenteil b) nach zwei Wochen entwickelt hat? Rechnen Sie bitte wieder mit R = 50! 

Ich habe alle Aufgaben außer Aufgabe e). Kann mir jemand bei dieser Aufgabe weiterhelfen?

Schule, Mathematik, Mathe, Chemie, Funktion, Algebra, Analytische Geometrie, lineare-algebra, Mathematiker, Matrix, Physik, Vektoren, Mathe Leistungskurs, mathearbeit, matheaufgabe, Analysis
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Äußere direkte Summen und Produkte?

Hallo!

Folgende Definition wird mir nicht 100%ig klar:

[Definition: Sei V eine Menge, dann nenne ich |V| die Anzahl der Elemente in V]

So ich hab das Produkt der Vektorräume V_i schon fasst verstanden... denke ich... Ich nehme jeweils aus jedem dieser Vektorräume V_i ein Element bzw. ein Vektor raus. dann habe ich |I| viele Vektoren, welche ich alle zusammen fasse in eine Familie. Das mach ich dann |V_i| mal würde ich sagen und habe dann eben |V_i| Familien, welche eben dann das Produkt der Vektorräume V_i bilden. Ist da soweit richtig verstanden worden? Was passiert, wenn die V_i untereinander nicht gleichmächtig sind? Muss nicht noch bedingt sein, dass die V_i untereinander jeweils isomorph zueinander sind?

Als Beispiel nehme ich mal die reellen Zahlen R=V_1=V_2=...=V_(p-1) mit p<oo und irgendeinen endlichen Körper, ich nenne ihn mal W und nehme W^3:=V_p mit |W|<p. Jetzt nehme ich für das Beispiel eine Indexmenge I=1,...,p, also |I|=p. Was nun? Bilde ich nun das Produkt dieser drei Vektorräume, gehen mir doch irgendwann die Vektoren aus V_p aus... Nun gibt es für mich drei Möglichkeiten:

1und2) Es gibt ein P aus I mit P<p oder genauer sogar P=|W|, sodass ab diesem P (bzw. sodass für alle i aus I mit i>P)...

a) ... die Familien nur noch aus p-1 Vektoren gebildet werden. (also keine mehr aus W^3=V_p)

b) ... keine Familien mehr gebildet werden. Also nicht alle Elemente der Vektorräume V_1,...,V_p für die "Familienbildung" genutzt werden.

3) Ich liege komplett falsch und habe alles falsch verstanden. Kann sehr gut passieren....

Wäre super, wenn jemand mich etwas aufklären könnte. Ich verstehe eben nicht ganz genau, was passiert, wenn die Vektorräume, dessen Produkt ich hier bilden will, nicht die gleiche Anzahl an Elementen haben. Bzw. was genau passiert, wenn einer dieser Vektorräume eine kleiner Anzahl an Elementen hat, als die Anzahl an Vektorräumen von welchen wir das Produkt bilden wollen.

VIELEN DANK UND LIEBE GRÜßE!

Äußere direkte Summen und Produkte?
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Dimension eines Bildes (f) und linear unabhängige Menge von Vektoren bestimmen?

Guten Abend Deutschland, Guten Morgen Aus Tralien,

ich bräucht mal kurz bissl Hilfe bei folgender Aufgabe:

Es sei f: ℝ^n -> ℝ^m eine injektive lineare Abbildung

a) Welche Dimension hat Bild (f)?

b) Zeige dass das Bild einer linear unabhängigen Menge von Vektoren unter f linear unabhängig ist.

Mein bisherige Ansatz zu a): Ich weiß das die Dimension eines Vektors sich aus der Dimension des Kerns (f) und der Dimension des Bildes (f) ergibt. Auch bin ich mir darüber im Klaren, dass die Dimension des Bildes (f) identisch zum Rang von f ist.

Der Rang ist widerum die Menge aller Zeilen, die nicht 0 sind. Weiß noch nicht ganz, wie ich das alles in Beziehung zu einander setzten soll, bzw. was eigentlich als Antwort verlangt wird. Ein Buchstabe? Eine Zahl? Es käme ja dann darauf an wie viele Nullzeilen hätte.

zu b) Ich habe im Internet folgendes gefunden: "Ist F ein monorphimus, dann ist der Kern von F = 0 und somit ist für jedes System linear unabhängiger Vektoren (v1, . . . , vn) auch (F(v1), . . . , F(vn)) linear unabhängig"

Diese Aussage scheint mir dasselbe zu bedeuten, wie wenn das Bild einer linear unabhängigen Menge von Vektoren unter f linear unabhängig ist.

Da f injektiv ist, ist f ein Monomorphismus und v∈Kern (F). Dann ist F(v) = 0 und F(0) = 0. Da F injektiv ist, folgt v= 0. Also ist Kern F={0}.

Seien (v1, . . . , vn) jetzt die linear unabhängigen Vektoren Aus λ1 F(v1) +. . .+ λn F(vn) = 0 folgt

F( λ1 v1 +. . . + λn vn) = λ1 F(v1) +. . .+ λn F(vn) = 0,

und somit sind λ1 v1 +. . .+ λn vn ∈ Kern F={0},

also λ1 v1 +. . .+ λn vn= 0.

Da (v1, . . . , vn) linear unabhägig ist, folgt λ1=. . .=λn= 0

Kann man das so sagen? Und hab ich damit gezeigt, dass das Bild einer linear unabhängigen Menge von Vektoren unter f linear unabhängig ist?

Mit freundlichem Abstand,

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