Erklärung zu den Pauli Matrizen?

Hallo liebe Community,

ich beschäftige mich gerade mit den Pauli Matrizen und habe da ein paar Verständnisfragen.

Die Pauli Matrizen sind ja folgende:

und dazu nimmt man ja meistens noch die Matrix

.

Dabei ist dann ja



und 

Es steht auf mehereren Websiten, dass die Paulimatrizen mit der Einheitsmatrix Sigma0 eine "Basis des 4-dimensionalen rellen Vektorraums aller komplexen hermiteschen 2 x 2 Matrizen" bildet und auch eine "Basis des 4-dimensionalen komplexen Vektorraums aller komplexen 2 x 2 Matrizen" bildet.

Was genau ist damit jetzt gemeint?

Also den Fakt, dass die Paulimatrizen eine Basis zu einem reellen Vektorraum und zu einem komplexen Vektorraum bilden, habe ich mir folgendermaßen erklärt: Um zu prüfen, dass etwas eine Basis ist, muss man ja schauen ob die Vektoren in B sozusagen linear unabhängig sind. (Wir gehen mal davon aus, dass die Vektorräume jeweils endlich erzeugte Vektorräume sind).

Da habe ich mir dann gedacht, dass man ja sozusagen einfach alle 4 Matrizen so umformulieren kann, dass es komplexe Zahlen sind, also einfach so:

Und da ja schon gesagt wurde, dass die eine Basis bilden, heißt, dass das die linear unabhängig sind und da jetzt alle Matrizen Element der Komplexen Zahlen 2 x 2 sind bilden sie halt eine Basis für den Vektorraum der komplexen Zahlen.

Dies macht man dann auch noch für die reellen Zahlen. Dort wandelt man die Matrix Sigma2 in eine Relle Matrix um. Man sagt einfach i = 1 und -i = -1. Und da dort dann alle Matrizen Element der Reelen Zahlen 2 x 2 sind bilden sie halt eine Basis für den Vektorraum der reellen Zahlen.

Das war ersteinmal mein Erklärversuch dafür, dass die Paulimatrizen eine Basis für den reelen Vektorraum bilden als auch für den komplexen Vektorraum. Ich würde mich sehr freuen falls mir jemand erklären könnte inwiefern mein Versuch richtig ist.

Die Grundlage meiner Idee war folgendes:

Auf jeden Fall muss es irgendwas damit zu tun haben, dass eine Komplexe Zahl so aufgebaut ist: a+b(i) mit a,b Element der Reelen Zahlen.

Meine konkreten Fragen sind also:

  1. Wie kann es sein, dass die Paulimatrizen eine Basis für den reellen Vektorraum bilden und eine Basis für den komplexen Vektorraum?
  2. Was bedeutet Zitat "die Paulimatrizen bilden eine Basis des 4-dimensionalen reellen Vektorraums aller komplexen hermiteschen 2 x 2 Matrizen"?

Ich würde mich sehr über Antworten freuen :)

Erklärung zu den Pauli Matrizen?
Schule, Mathematik, Mathe, lineare-algebra, matrizen, Vektorrechnung
Lineare Abhängigkeit beweisen?

Hallo liebe Community,

ich habe folgende Aufgabe:

Finden Sie alle a Element R, so dass die Vektoren
 in R^3 linear abhängig sind.

Ich bin da nun wie folgt rangegangen. Ich habe mir erstmal ein Gleichungssystem erstellt um a auszurechnen:

Dieses Gleichungssystem habe ich mit Taschenrechner gelöst und kam auf



Ein weiteres Ergebnis war, dass a eine beliebige Zahl sein kann, aber dies ist nur der Fall, wenn Lambda1, Lambda2 und Lambda3 null sind und das soll ja hier nicht sein, da damit die lineare Abhängigkeit nicht gezeigt ist. Die lineare Abhängigkeit ist ja durch eine nicht-triviale Linearkombination = 0 gezeigt. Aber wenn alle Lambdas 0 wären, dann wäre es ja eine triviale Linearkombination.

Es wäre nett wenn mir jemand einen Ansatz geben könnte wie ich dieses Gleichungssystem auch händisch löse, weil ich kriege das nur mit Taschenrechner hin.

Ich habe probiert die erste Gleichung nach Lambda1 aufzulösen und das Ergebnis davon dann in die anderen Gleichungen einzusetzen kam damit aber nicht wirklich weit. Was ich durch meine Rechnung mit Taschenrechner schon weiß ist, dass für Lambda2 eigentlich wieder Lambda2 rauskommen sollte, aber ich weiß nicht wie man damit dann auf die Plus/Minus Wurzel 3 kommt. Ich habe auch probiert die erste Gleichung nach a aufzulösen, kam aber auch damit nicht wirklich weit.

Aber das händische Ausrechnen des Gleichungssystems ist eher Nebensache, aber es wäre trotzdem cool, wenn mir jemand einen Ansatz dafür geben könnte. Wir sollen die Aufgabe in einem Behauptung-Beweis-Schema aufschreiben und wir müssen keinen Rechenweg angeben. Also war meine Idee jetzt als Behauptung folgendes zu schreiben:

Für a = +-sqrt(3) Element der reellen Zahlen sind die Vektoren (1 a 0), (a 1 2) und (0 1 -1) in R^3 linear abhängig.

Um nun diese Behauptung zu beweisen bin ich wie folgt vorgegangen. Ich habe dieses Gleichungssystem aufgestellt:

Und bin damit auf folgende Lösungen gekommen:

Lambda 3 ist eine beliebige reelle Zahl, ungleich 0. Da es für a = sqrt(3) eine nicht-triviale Linearkombination gibt die den Wert null annimmt, sind die Vektoren (1 a 0), (a 1 2), (0 1 -1) linear abhängig für a = sqrt(3).

Das gleiche mache ich dann noch für a = -sqrt(3) und dann habe ich ja damit meine Behauptung bewiesen und somit auch die Aufgabe gelöst, oder?

Habe ich alles richtig gemacht? Wo ich mir nicht ganz sicher bin ist, halt, dass ich nirgendwo zeige, dass +-sqrt(3) die einzigen beiden Möglichkeiten für a sind so dass die Vektoren linear abhängig sind.

Also habe ich alles richtig gerechnet, richtig gedacht und habe ich die Beweisführung richtig gemacht? Oder denkt ihr ich sollte die Behauptung ändern in:

a = +-sqrt(3) sind die einzigen beiden Möglichkeiten für a sodass die Vektoren ... linear abhängig sind.

Und dann würde ich in meinen Beweis noch die Berechnung von a einbauen.

Lineare Abhängigkeit beweisen?
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Beweisen, dass eine Menge ein Untervektorraum ist?

Hallo liebe Community,

ich soll beweisen, oder widerlegen, dass folgende Mengen Untervektorräume der K-Vektorräume sind.

Eine Menge U ist ja immer dann ein Untervektorraum wenn folgende vier Fragen mit ja beantwortet werden können:

  1. Ist U eine Untermenge von V?
  2. Ist der Nullvektor von V auch in U enthalten?
  3. Wenn v, w Element U zwei beliebige Vektoren aus U sind, ist dann auch v+w stets wieder in U?
  4. Wenn v Element U ein beliebiger Vektor und x Element K eine beliebige Zahl ist, ist dann auch x*v wieder in U?

Hier bei diesem Beispiel habe ich die 4 Fragen beantworten können und bewiesen, dass die Menge U ein Untervektorraum von V ist. Ist dies korrekt? Das Beispiel fand ich noch nicht so schwer.

Ergänzung: Nach ein bisschen Nachdenken ist mir aufgefallen, dass ich besonders beim Beantworten der Frage 3 und 4 mit nicht mehr sicher bin, ob dann beim Ergebnis auch die Einschränkung x+y=z zutrifft.

Ergänzung 2: Nach weiterem Nachdenken ist mir aufgefallen, dass die Einschränkung eigentlich immer erfüllt wird auch wenn ich z.B. zwei Vektoren z.B.: (x, y, z) + (a, b, c) addiere. Da ich sage, dass diese beiden Vektoren Elemente von U sind wird ja damit auch gesagt, dass x+y = z und a + b = c. Und wenn ich die beiden Vektoren addiere, dann komme ich ja auf (x+a,y+b, z+c). Also ist ja die Einschränkung erfüllt oder?

Bei diesem Beispiel habe ich auch bewiesen, dass U ein Untervektorraum von V ist. Ist dies korrekt? Bei diesem Beispiel ist ja der einzige Vektor in U (0,0) oder? Da die Einschränkung hinten ja nur für x = 0 und für y = 0 erfüllt ist, oder?

Bei diesem Beispiel weiß ich leider nicht wie ich da ran gehen soll, da ich leider noch nicht so viel mit den komplexen Zahlen gearbeitet habe. Aber rein intuitiv würde ich behaupten, dass dies kein Untervektorraum von V ist. Aber eine Erklärung hierzu würde mir sehr weiterhelfen.

Bei diesem Beispiel geht es ja um die Paritäten und um die vier Fragen zu beantworten mit der Einschränkung kann ich ja einfach alle möglichen Kombinationen aufschreiben und überprüfen ob ich mit diesen Kombinationen alle vier Fragen beantworten kann, oder?

Ich wäre sehr dankbar, wenn mir jemand ein bisschen was dazu erklären könnte und mir sagen könnte ob meine Gedankengänge zu den jeweiligen Beispielen korrekt sind, oder wenigstens schonmal in die richtige Richtung gehen. Bei dem Beispiel mit den Komplexen Zahlen wäre ich sehr dankbar für eine genauere Erklärung wie ich das dort rechne.

Schule, Mathematik, Mathe, lineare-algebra, Vektoren
Urbild von Abbildungen bilden?

Hallo liebe Community,

ich rechne gerade eine Aufgabe die wie folgt lautet:



Was ist ?

Ansich hatte ich das Gefühl Urbilder ganz gut zu verstehen.

Wenn man f(x)=x^2+1 hat und f^-1(3) bestimmen soll, dann setze ich einfach die 3 für y in meiner Funktion ein und bestimme das entsprechende x dazu.

So bei Funktion f wollte ich nun wie folgt vorgehen:

Ich setze erst 0 für y ein und dann 1 für y. Aber jetzt war ich schon etwas verwirrt, weil es eine Funktion mit 2 Variablen ist x und y. Meine erste Idee war erst jedes y durch 0 zu ersetzen also so: 0 = x*0-0^2

Das hat aber für mich keinen Sinn mehr gegeben, weil das ist dann ja für jeden Wert von x wahr und wie soll ich das als Ergebnis aufschreiben.

Dann habe ich es noch wie folgt ausprobiert: 0 = x*y-y^2

Und kam dabei auf folgende Lösung x=y oder y=0.

Dann habe ich so weitergerechnet: 1=x*y-y^2 und kam auf folgendes Ergebnis: y+1/y

Mein Ergebnis für das Urbild f^-1([0,1]) ist dann folgendes: {y,0,y+1/y}. Ist das so korrekt?

Nun habe ich weitergerechnet mit g. Da soll ich für y das kartesische Produkt von 5 und den Reelen Zahlen einsetzen. So hier war ich eigentlich schon geliefert. Wenn man das kartesische Produkt von 5 x R bildet hat man ja Paare, aber eine unendliche Anzahl von Paaren und ich kann ja schlecht unendlich viele Paare für y einsetzen, da werde ich ja wortwörtlich nie fertig mit.

Dann habe ich mir gedacht okay, y muss das Paar (3x,7) sein. Damit also die Gleichung wahr ist muss man die Relle Zahl 7 nehmen dann hat man für y das Paar (5,7) also gilt (5,7)=(3x,7) und dann muss ich nur noch die Gleichung hier lösen: 5 = 3x also x = 5/3. Und dann ist die Lösung für das Urbild von g^-1(5xR)={5/3}???

Kann mir bitte jemand erklären ob ich das richtig gerechnet habe bzw. gedacht habe oder falls ich halt einen Fehler gemacht habe mir erklären wo mein Fehler liegt.

Das wäre wirklich sehr nett von euch :)

Schule, Mathematik, Mathe, lineare-algebra, mengenlehre, Aussagenlogik
Widerspurchsbeweis als logische Formel?

Hallo liebe Community,

ich beschäftige mich immer noch mit dem Thema Aussagenlogik und will erneut eine Verständnisfrage stellen. Ich probiere gerade den indirekten Beweis oder auch Beweis durch Widerspruch zu verstehen.

Meinem Verständnis nach funktioniert der Widerspruchsbeweis wie folgt:

Man nimmt eine Aussage S und negiert diese. Der Widerspruchsbeweis funktioniert nur wenn die negierte Aussage S den Wahrheitswert falsch hat. Wenn die negierte Aussage von S den Wahrheitswert falsch hat, dann kann man die negierte Aussage S nocheinmal negieren.



Dadurch, dass die doppelt negierte Aussage von S eindeutig wahr ist, und die doppelte Negation von S wieder S ergibt hat man dadurch bewiesen, dass S wahr ist.

Ansich habe ich das Gefühl, dass ich es teilweise verstanden habe, aber ich habe es noch nicht in der Gänze verstanden.

Ich möchte die ganze Zeit den Beweis durch Widerspruch als logische Formel aufstellen und dann wollte ich probieren diese logische Formel, formal zu beweisen. Mit vielleicht einer Wahrheitswertetabelle.

Das habe ich auch schon irgendwie ein bisschen ausprobiert und hatte folgendes:

Nur irgendwie habe ich diese Wahrheitswertetabelle erstellt ohne mir im klaren zu sein, was ich da so wirklich mache. Ich habe meiner Meinung nach immer noch keine logische Formel für den Beweis durch Widerspruch.

Also meine expliziten Fragen sind:

  1. Was ist die logische Formel des Beweises durch Widerspruch.
  2. Ergibt meine Wahrheitswertetabelle Sinn im Bezug auf den Beweis durch Widerspruch?
  3. Wenn meine Wahrheitswertetabelle Sinn ergibt, kann mir jemand kurz zusammenfassen warum diese Wahrheitswertetabelle Sinn ergibt?

Anmerkung zu der letzten Frage: Ich bin halt ein bisschen verwirrt im allgemeinen, da ich nicht weiß wie ich damit umgehen soll falls die Aussage S falsch ist. Weil dann funktioniert ja der Beweis durch Widerspruch eigentlich nicht, weil ich dann die Negation von S nicht zu einem Widerspruch bringen kann, oder?

Widerspurchsbeweis als logische Formel?
Schule, Mathematik, Mathe, Sprache, Formel, lineare-algebra, Logik, mengenlehre, Aussagenlogik

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