Küzeste Strecke (Geodäte) auf Zylindermatel, Variationsrechung?

Hi zusammen, ich soll die Geodäte auf einem Zylinder bestimmen. Ich weiß schon, dass eine Schraubenlinie rauskommen soll (in Zylinderkoordinaten eine Gerade) aber bei einem Punkt in der Rechnung hakt es ein bisschen.

Ich habe als Lagrange Funktion in Zylinderkoordinaten:

$\sqrt{R^2\text{}\phi'^2+z'^2}$

nun müsste ich doch einmal die Lagrange Funktion nach phi und nach z aufstellen.

Da bekomme ich jeweils einen kostanten Term in der Zeitableitung, da der andere sofort wegfällt. Doch wie verbinde ich meine z und meine phi Konstante?

Oder reicht es wenn ich eine davon, z.B. nach z auflöse, integriere und dabei die Gerade rauskommt? Bei manchen Ansätzen im Internet ist die phi-Komponente schon in der Lagrange-Funktion rausgefallen. Das kommt mir aber seltsam vor, da in der Aufgabenstellung phi ebenfalls in Abhängigkeit von t gegeben war.

$\frac{R^2\phi'^2}{\sqrt{R^2\phi^2+z^2}}=\ c$

bzw

$\frac{z'}{\sqrt{R^2\phi'^2+z^2}}=\ c$

Kann mir jemand helfen?

Answer 1

[Reggid]

du hast bei der ersten gleichung beim phi' ein ^2 zu viel.

außerdem ist die Lagrange-funktion selbst entlang der kurve ebenfalls konstant, also kannst du die wurzel einfach in die konstante ziehen. ebenso das R^2.

alles was stehen bleibt ist also

phi’ = const

z’ = const

also

phi’’ = 0

z’’ = 0

das ist eine gerade.